机器学习中拉普拉斯矩阵、散射矩阵、奇异矩阵、正定矩阵

拉普拉斯矩阵

图论的数学领域中的拉普拉斯矩阵（也被称为导纳矩阵，吉尔霍夫矩阵或离散拉普拉斯）是图的矩阵表示。

 

拉普拉斯矩阵 结合 吉尔霍夫理论 可以用来计算图的最小生成树的个数。拉普拉斯矩阵还可用来寻找图的其他属性：谱图理论spectral graph theory.

 

黎曼几何的Cheeger不等式有涉及了拉普拉斯矩阵的离散模拟。这或许是谱图理论中最重要的定理也是在算法应用中最有用的facts.它通过拉普拉斯矩阵的第二特征值来近似图的最小割。

 

拉普拉斯矩阵是 度矩阵 和 邻接矩阵的差。度矩阵是一个对角矩阵，其包含了每个顶点的度。在处理有向图时，根据应用来选择入度或出度。

 

属性：

1.拉普拉斯矩阵是半正定矩阵。

2.特征值中0出现的次数就是图连通区域的个数。

3.最小特征值永远是0，因为每个拉普拉斯矩阵对应特征向量[1,1,1,1,...,1]Lv=0.

4.最小的非0特征值称为谱隙spectral gap.

5.

6.最小非零特征值是图的代数连通度。

散射矩阵

假设散射源为很好的定域散射源，与被散射粒子的相互作用局限在有限的空间范围内，那么，无穷远时间以前粒子处于一个自由态，称为入态，记为|Ψ>in；无穷远时间之后粒子也是处于一个自由态，称为出态，记为 |Ψ>out。 入态到初态，相互作用可以用一个矩阵描述，记为S，那么就有：

|Ψ>out=S |Ψ>in

 

 

奇异矩阵

　　奇异矩阵是线性代数的概念，就是对应的行列式等于0的矩阵。

 

　　奇异矩阵的判断方法：首先，看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。 然后，再看此方阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。 同时，由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。

 

正定矩阵

1.首先半正定矩阵定义为: 

 

其中X 是向量，M 是变换矩阵

我们换一个思路看这个问题，矩阵变换中，

代表对向量 X进行变换，我们假设变换后的向量为Y，记做

。于是半正定矩阵可以写成：

这个是不是很熟悉呢？ 他是两个向量的内积。 同时我们也有公式：

||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度，

是他们之间的夹角。 于是半正定矩阵意味着

, 这下明白了么？

正定、半正定矩阵的直觉代表一个向量经过它的变化后的向量与其本身的夹角小于等于90度。

 

2.考虑矩阵的特征值。

若所有特征值均不小于零，则称为半正定。

若所有特征值均大于零，则称为正定。