微分方程-变量分离的方程

变量分离的方程

如果微分方程

中的函数 和 均可分别表示为 的函数与 的函数的乘积，则称（2.15）为变量分离的方程. 因此，只要令

变量分离的方程可以写成如下的形式

先考虑一个特殊的情形： 和 . 则微分方程（2.15）成为

显然这是一个恰当方程，所以容易得到它的通积分

一般而言，（2.16）未必是恰当方程. 但是，在上面对微分方程（2.17）求解之后，我们容易想到：如果以因子 去除（2.16）式的两侧，就得到

此方程具有（2.17）的形式（即 和 互相分离），因此它的通积分为

容易看出，当 时，这两个方程是同解的
还要补上可能丢失的特解：
，其中 是 的根;
，其中 是 的根.