基、维数和坐标 过渡矩阵与坐标变换
5.1.4 基、维数和坐标
定义1
设 V V V是线性空间，如果 V V V中有 n n n个线性无关的向量，而任意 n + 1 n+1 n+1个向量
都线性相关，则称线性空间 V V V是 n n n维的，记作 d i m V = n dimV=n dimV=n,而这 n n n个线性无关的向量称为线性空间 V V V的一组基.
当一个线性空间 V V V中有无穷多个线性无关的向量时，称其为无限维线性空间.
定义2
设 V V V是 n n n维线性空间， α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn是其一组基，对 V V V中任一向量 β \beta β,存在着唯一一组数 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn使得 β = ∑ i = 1 n x i α i , \beta=\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i, β=i=1∑nxiαi,称 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T (x_1,x_2,\cdots,x_n)^T (x1,x2,⋯,xn)T是 β \beta β在基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn下的坐标.
定理
如果在线性空间 V V V中有 n n n个线性无关的向量 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn,且 V V V中任何向量都可用 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn线性表出，那么 V V V是 n n n维的，而 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn就是 V V V的一组基.
5.1.5
定理
设线性空间 V V V的两组基是 ϵ 1 , ϵ 2 , … , ϵ n \epsilon_1,\epsilon_2,\dots,\epsilon_n ϵ1,ϵ2,…,ϵn和 η 1 , η 2 , ⋯ , η n \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n η1,η2,⋯,ηn,由 ϵ 1 , ϵ 2 , … , ϵ n \epsilon_1,\epsilon_2,\dots,\epsilon_n ϵ1,ϵ2,…,ϵn到 η 1 , η 2 , ⋯ , η n \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n η1,η2,⋯,ηn的过渡矩阵是 C \mathbf{C} C,则 C \mathbf{C} C是可逆矩阵.如果向量 α \mathbf{\alpha} α在这两组基下的坐标分别是 x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T \mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T x=(x1,x2,⋯,xn)T和
y = ( y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) T \mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T y=(y1,y2,⋯,yn)T，则 x = C y \mathbf{x}=\mathbf{Cy} x=Cy
下图为三者关系（过渡矩阵，基变换，坐标变换）
