“每个人都知道，今天的100块不等于明天的100块，但是如果你以为明天的100块就等于100(1+r),那你就too young，too simple，太低估金融界的套路了！”
文：蓝兔子读NOTES
图：配图 来源于网络
编码：0002
[Quantitative Methods]
[The Time Value of Money]
你也许没有买过基金，也许没有买过存单，但是你一定用过余额宝！余额宝的收益是按7日年化利率来报价的，你是否疑惑过，七日年化到底是个什么意思？
我想，你关心的应该不是七日年化本身，而是如何通过七日年化，计算出你每天能获得多少实实在在的利息收益。那接下来，我们就来说一下，报价利率上的套路，以及如何通过报价利率计算出你每天能获得多少利息。其实这个问题，本质上，是在说今天的100块，明天值多少；亦或者明天的100块，今天值多少。
几个术语
在正式讨论如何通过报价利率计算实际利息收益之前，我们还得先了解几个基本术语，不过大家或多或少应该都有所了解：
现值(Present value | PV)：就是手头货币现在这个时刻的价值，“现在”通常是一个时间基准，因此一般来说现在的100块价值就是100块；过去的和未来的一百块，在现在的价值一般不是100块。
未来值(Future value | FV)：就是现在手头的100块，在将来某一天的价值。由于一般社会经济发展都是扩张的，所以今天的100块，在未来会超过100块。
利率(Interest rate | r)：我们在之前的文章有说过，是用来衡量货币的时间价值的。简单来说，利率就是这100块钱，在这一段计息时间里新产生的价值。因此，我们可以简单的，强调一下，是简单的理解为：PV = FV + (FV * r) = FV * (1 + r)。如果你用这个方法去算你的余额宝收益，你会发现结果并不正确，具体的我们后面再讨论。
本金(Principal)：这个还是比较好理解的，不过值得说一下的是，如果你现在拿100块存入余额宝，你的本金就是100块，你本金的现值也是100块。
单利(Simple interest)：就是只有本金计算利息，而利息不计算利息。举个例子，你存100块到余额宝，余额宝的利息是每天1%，你连续存两天，第一天和第二天你各获得1块钱的利息。虽然你第一天获得了1块的利息，第二天也没有从余额宝取出，但是这1块钱是不计利息的。
复利(Compounding)：复利与单利是相对的，复利就是利息也要计算利息。还是上面的例子，你存第一天本金是100，一天之后获得利息1元；第二天你的本金就是101元，第二天结束，获得1.01的利息。虽然复利看起来似乎没有什么大的效果，但是实际上其威力之巨大，足以让人倾家荡产。隔壁败家子的利滚利高利贷还记得吧，所谓的利滚利就是复利。高利贷本身利率就高，再加上复利的加持，威力可以说是巨大无穷的。在相关的法律解释中，民间利率高于银行同期贷款利率4倍就属于高利贷，是不受法律保护的。所以你借高利贷不还，来敲门找你的不是警察，而是三五个热心大汉。“当然法治社会，你是可以找警察叔叔来赶走大汉的。“
以上是几个相对比较关键的名词，了解以后，我们就可以开始来计算货币的时间价值了，哦不，是本金的利息。后面如果出现了重要的术语，我们再单独解释。
利息的计算
利息的计算，其实就是计算现在的100块，在将来值多少，在知道本金和每期利率的情况下，这本应该是一个非常简单的问题，正如我们前面所述：未来价值=本金+（本金*利率）
然而实际上，事情并没有这么简单，让事情变复杂的，主要因素是：银行的报价习惯与计息方式之间的差异。
银行或者金融机构的报价习惯是指，银行在报价时，无论多久计一次息，银行都是按照年化利率(stated annual interest rate | quoted interest rate)来报的。什么意思呢，以余额宝为例，余额宝的利息是按天算的，你每天的收益是不是第二天就给你了呢？然而余额宝报出的利率却是按年来算，所以当你拿你存进余额宝的本金去乘这个利率的时候，你会欢呼，哇哦，一天这么多啊，然而第二条早上起床赶紧打开一看，我去，才这么点。
无论是按天算的余额宝，还是按月、按季度、按半年、按年计息的债券等，他们的报价利率都是年化的利率。这里说一下，所谓报价利率，如上篇文章所说，就是投资者把钱借出去的利率，在这里，就是你把钱借给余额宝，余额宝给你的利息。当大家都在借钱时，借款利率就会上升，当大家都不借钱时，借款利率就会下降。
余额宝的7日年化收益，就是取余额宝最近七天的收益率进行平均，再进行年化的收益率。由于余额宝本身收益率比较稳定，用最近7天的平均表现来预测明天的表现是比较合理的方式。年化的收益率，如果要转换成当期的收益率，直接除以一年的计息期数即可，以余额宝为例，如果余额宝每日计息，则使用余额宝年化收益除以365就是每天的收益率。如果余额宝节假日不计息，那么365就要减去节假日的天数。同理，按月付息的报价利率需要除以12才是每次获得的利息。
那假如100块存入余额宝，余额宝每天计息，7日年化收益率为2.2%，每天能获得多少收益呢？
将年化收益转换成每期的收益，余额宝每期就是每天：2.2%/365=0.006%
利用本金和利率计算当期的时间价值：100*0.006%=0.006元
大家赶紧打开自己的余额宝算算，看看阿里有没有给咱算错吧，不过出现微量偏差也是合理的，因为其实际的计息天数可能不是365天，而是360天，或者359天等等。
报价利率与有效利率的转换
如前文所说，金融机构的报价利率都是年化的利率，直接通过本金乘以报价利率得到的并不是一年下来的真正利息，想要计算真正的利息，就得使用有效年利率(effective annual rate | EAR)。
PV = PV + PV*r 错误
PV = PV + PV*EAR 正确
当然，如果当计息周期刚好是一年的时候，r=EAR。
那EAR该如何计算呢，我们知道，r是年化的收益，r除以每年计息次数，就是每期的实际利率，然后再每期依次计息，就是真实的收益率了。下面以一个半年计息的兔子宝为例，假设本金为100元，假设该兔子宝报价年化收益为4%，计算有效年化收益率EAR。
首先计算每期的实际利率：4%/2=2%
计算半年之后的本息之和：100+100*2%=102元
计算一年之后的本息之和：102+102*2%=104.04元
计算一年的实际收益率EAR：(104.04-100)/100=4.04%
所以，报价利率为4%，半年计息一次的兔子宝一年实际利息是4.04元，而不是4元。你可能在想，那按这么算，余额宝按天计息不是要算到天荒地老，其实还真不是，简单的数学归纳后，我们可以得到报价利率到有效利率的转化公式：
EAR为有效年利率，r为报价利率（或称名义利率），n为一年内计息次数。现在你就可以拿着EAR去乘以本金，求得一年之后的实际利息啦。
连续复利的计算
所谓连续复利，就是指计息既不是按照年，也不是按照月或者按照天，而是把时间进行最小细分，每分每秒都要进行计息的方式。这种方式与按月按天的道理是一样的，只是在计算上，要使用极限的思维，这里就不去细说了，感兴趣的同学可以自行查阅资料了解。