代码随想录算法训练营第四十三天 | 1049. 最后一块石头的重量 II、494. 目标和、474. 一和零

打卡第43天,01背包应用。

今日任务

  • 1049.最后一块石头的重量 II
  • 494.目标和
  • 474.一和零

1049. 最后一块石头的重量 II

有一堆石头,用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合,从中选出任意两块石头,然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 xy,且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下:

  • 如果 x == y,那么两块石头都会被完全粉碎;
  • 如果 x != y,那么重量为 x 的石头将会完全粉碎,而重量为 y 的石头新重量为 y-x

最后,最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下,就返回 0

示例 1:

输入:stones = [2,7,4,1,8,1]
输出:1
解释:
组合 2 和 4,得到 2,所以数组转化为 [2,7,1,8,1],
组合 7 和 8,得到 1,所以数组转化为 [2,1,1,1],
组合 2 和 1,得到 1,所以数组转化为 [1,1,1],
组合 1 和 1,得到 0,所以数组转化为 [1],这就是最优值。

示例 2:

输入:stones = [31,26,33,21,40]
输出:5

提示:

  • 1 <= stones.length <= 30
  • 1 <= stones[i] <= 100

代码随想录

题目求石头 最小的可能重量 ,就是尽量让石头分成重量相同的两堆,相撞之后剩下的石头最小,这样就化解成01背包问题了。

求全部石头的一半重量的最大价值(这里的价值跟重量一样),本意是分成两堆大小尽可能的石头,所以递推公式: d p [ j ] = m a x ( d p [ j ] , d p [ j − s t o n e s [ i ] ] + s t o n e s [ i ] ) ; dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]); dp[j]=max(dp[j],dp[jstones[i]]+stones[i]); 当前这个石头取或不取 求最大价值。

二维数组dp
代码随想录算法训练营第四十三天 | 1049. 最后一块石头的重量 II、494. 目标和、474. 一和零_第1张图片
利用滚动数组:递推公式 d p [ j ] = m a x ( d p [ j ] , d p [ j − s t o n e s [ i ] ] + s t o n e s [ i ] ) ; dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]); dp[j]=max(dp[j],dp[jstones[i]]+stones[i]);

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        int sum = 0;
        for(int stone : stones) sum += stone;
        int target = sum / 2;

        vector<int> dp(target + 1, 0);
        for(int i = stones[0]; i <= target; i++) dp[i] = stones[0];  //初始化

        for(int i = 1; i < stones.size(); i++) {
            for(int j = target; j >= stones[i]; j--) {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]); // 递推公式
            }
        }

        return sum - 2 * dp[target];
    }
};

494. 目标和

给你一个整数数组 nums 和一个整数 target

向数组中的每个整数前添加 '+''-' ,然后串联起所有整数,可以构造一个 表达式

  • 例如,nums = [2, 1] ,可以在 2 之前添加 '+' ,在 1 之前添加 '-' ,然后串联起来得到表达式 "+2-1"

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1:

输入:nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出:5
解释:一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2:

输入:nums = [1], target = 1
输出:1

提示:

  • 1 <= nums.length <= 20
  • 0 <= nums[i] <= 1000
  • 0 <= sum(nums[i]) <= 1000
  • -1000 <= target <= 1000

我的题解

用回溯做了一下
在这里插入图片描述
代码随想录算法训练营第四十三天 | 1049. 最后一块石头的重量 II、494. 目标和、474. 一和零_第2张图片

class Solution {
public:
    int cnt = 0;
    void backtracking(vector<int>& nums, int size, int target) {
        if(size >= nums.size()) {
            if(target == 0) cnt++;
            return ;
        }
        
        target -= nums[size];
        size++;
        backtracking(nums, size, target);
        size--;
        target += nums[size];

        target += nums[size];
        size++;
        backtracking(nums, size, target);
        size--;
        target -= nums[size];
        
    }
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        backtracking(nums, 0, target);
        return cnt;
    }
};

代码随想录

动态规划:(目标值 + 和)/ 2 = 公式全部正数dpNum,用这个公式求出正数,然后动态规划,找出是否有整数和等于dpNum。

  1. 确定dp数组以及下标的含义
    dp[j] 表示:填满j(包括j)这么大容积的包,有dp[j]种方法。
  2. 递推公式
    只要搞到nums[i]),凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

例如:dp[j],j 为5,

已经有一个1(nums[i]) 的话,有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
已经有一个2(nums[i]) 的话,有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
已经有一个3(nums[i]) 的话,有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个4(nums[i]) 的话,有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个5 (nums[i])的话,有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包
d p [ j ] + = d p [ j − n u m s [ i ] dp[j] += dp[j - nums[i] dp[j]+=dp[jnums[i]
3. 初始化
dp[0] = 1; dp[0]是在公式中一切递推结果的起源,如果dp[0]是0的话,递推结果将都是0。
4. 确定遍历顺序
nums放在外循环,target在内循环,且内循环倒序。
5. 举例推导dp数组
代码随想录算法训练营第四十三天 | 1049. 最后一块石头的重量 II、494. 目标和、474. 一和零_第3张图片

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        // 分两半 一半正数,一半负数 正数 + 负数 = 目标值  和 = 正数 - 负数 目标值 + 和 = 2 * 正数
        int sum = 0;
        for(int num : nums) sum += num;
        if((sum + target) % 2 == 1 || abs(target) > sum) return 0;
        int dpNum = (sum + target) / 2;

        vector<int> dp(dpNum + 1, 0);
        dp[0] = 1;

        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = dpNum; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
                // printf("%d ", dp[j]);
            }
            // printf("\n");
        }

        return dp[dpNum];
    }
};

474. 一和零

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 mn

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度,该子集中 最多m0n1

如果 x 的所有元素也是 y 的元素,集合 x 是集合 y子集

示例 1:

输入:strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出:4
解释:最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ,因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意,因为它含 4 个 1 ,大于 n 的值 3 。

示例 2:

输入:strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
输出:2
解释:最大的子集是 {"0", "1"} ,所以答案是 2 。

提示:

  • 1 <= strs.length <= 600
  • 1 <= strs[i].length <= 100
  • strs[i] 仅由 '0''1' 组成
  • 1 <= m, n <= 100

代码随想录

  1. 确定dp数组以及下标的定义
    dp[i][j]:最多有i个0和j个1的str的最大子集的大小dp[i][j]。

  2. 递推公式
    dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来,strs里的字符串有zeroNum个0,oneNum个1。

    dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。

    然后我们在遍历的过程中,取dp[i][j]的最大值。

    所以递推公式:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

    此时大家可以回想一下01背包的递推公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

  3. 初始化
    因为物品价值不会是负数,初始为0,保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

  4. 遍历顺序
    for循环遍历物品,内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历!

  5. 举例
    代码随想录算法训练营第四十三天 | 1049. 最后一块石头的重量 II、494. 目标和、474. 一和零_第4张图片

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0
        for (string str : strs) { // 遍历物品
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for (char c : str) {
                if (c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历!
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

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