2020-03-25

第一章 数值计算中的误差

误差的来源与分类

1. 误差分类
   

固有误差 求解工程问题的数学模型本身具有的误差，无法避免。
模型误差 由于“简单化”和“理想化”而产生的误差(如G=mg中g用数值表示)。
测量误差 参数测量过程中带入的误差。
计算误差 数值方法求得的近似解与精确解之间的误差。
截断误差 求解过程中近似代替等简化处理方式产生的误差(如Taylor展式进行“截断”)。
舍入误差 由于计算机只能进行有限位的小数计算而产生的误差(如2/3≈0.666667)。

2. 基本概念

绝对误差：；
其中， 为近似值； 为精确值； 为绝对误差。

绝对误差限：；
其中， 为 的绝对误差限。

相对误差：;
其中， 为 的相对误差。

相对误差限：;
其中， 为相对误差限。由于精确值 不可知，所以常用 替代，则相对误差限为：

n 位有效数字：从左端第一位非零数字往右数至第 n+1 位数字，并对第 n+1 位数字进行四舍五入而得到的近似数。
补充规则：当取舍的数字为 5 时，使近似数的最后数字为偶数。如：。

相对误差与有效数字的关系：

• 设近似值 有 n 位有效数字，则其相对误差限为： 。
• 设近似值 的相对误差限为 ，则其至少有 n 位有效数字。
• 相对误差越小，则有效数字越多。反之，有效数字越少，相对误差越大。

例题 用 4 位浮点数计算 ，假设已知数为精确值。
解： 方法一：。计算结果仅有 1 位有效数字。
方法二：。计算结果包含 4 位有效数字。

3. 误差的分析方法

向前误差分析方法：存储每次计算产生的误差并累积起来。
向后误差分析方法：将计算误差归结为初始数据的影响，即假设初始数据存在一定误差或扰动，并使这一误差等效于计算过程中产生的误差。

1.2 数值运算时误差的传播

1.2.1 一元函数计算的误差传播

设 是 的近似值，则计算结果误差 ，由 Taylor 公式有：

忽略第二项高阶无穷小后，可得函数 的误差限估计式：

1.2.2 二元函数计算的误差传播

1.3 数值计算时应注意的问题

1.3.1 避免相近的数作减法运算

1.3.2 避免分式中分母的绝对值远小于分子的绝对值

1.3.3 防止大数“吃”小数

1.3.4 简化计算量

1.3.5 病态问题数值算法的稳定性