代码随想录算法训练营第四十三天| 1049. 最后一块石头的重量 II、494. 目标和、474.一和零

1049. 最后一块石头的重量 II

和分割等和子集的题目思路类似，要想最后剩余的石头重量最小，需要将石头尽可能的分成两份重量接近的石头，互相碰撞，才能保证剩下的重量最小。

此时target就为sum/2，本题物品的重量和价值都为石头的重量

1. dp数组及下标含义
   dp[j]：表示到容量为j背包中的最大重量

2. 确定递推公式
   dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

3. dp数组初始化
   容量为0的背包最大可以装的重量也为0，其余下标也为0防止被覆盖

4. 遍历顺序
   使用一维数组，在外层遍历物品，内层遍历背包，内层采用倒序遍历防止多重背包问题，物品被重复利用

5. 举例推导dp数组
   举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下：
   

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        int sum = accumulate(stones.begin(), stones.end(), 0);
        cout<<sum<<endl;
        int target = sum / 2;
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) {
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - dp[target] - dp[target];
    }
};

494. 目标和

此题比较难想，使用的方法非常巧妙

本题要如何使表达式结果为target，

既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。

left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left

公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。

target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。

此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。

这样题目又跟上面一样了。

1. 确定dp数组及下标含义
   dp[j]：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法（注意此处是求的方法）

2. 确定递推公式
   只要搞到nums[i]），凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。
   例如：dp[j]，j 为5，
   已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
   已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
   已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]种方法 凑成 容量为5的背包
   已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]种方法 凑成 容量为5的背包
   已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]种方法 凑成 容量为5的背包
   那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

   所以求组合类问题的公式，都是类似这种：

   dp[j] += dp[j - nums[i]]
   

   这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！

3. 初始化
   从递归公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递归结果将都是0。
   如果数组[0] ，target = 0，那么 bagSize = (target + sum) / 2 = 0。 dp[0]也应该是1， 也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法，都是 1 种方法。

   所以本题我们应该初始化 dp[0] 为 1。

4. 确定遍历顺序
   一维数组的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。

5. 举例
   输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3

   bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

   dp数组状态变化如下：
   

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (int n : nums) sum += n;
        if ((sum + target) % 2 == 1 || abs(target) > sum) return 0; //如果不能平均分成两份的话，没有组合，当target绝对值比sum大的时候也不行
        int left = (sum + target) / 2;
        vector<int> dp(left + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = left; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[left];
    }
};

474.一和零

此题仍然是0-1背包问题，不是多重背包问题

本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！

而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。

这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。

2. 确定递推公式
   dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。

   dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。（因为这里是子集的大小也就是子集元素的个数，所以再加上本个字符串就是加1）

   然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。

   所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

3. 初始化
   因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

4. 遍历顺序
   外层是遍历物品，这里也就是遍历字符串数组，内层是遍历背包，此题要遍历两层背包，因为是二维的，先后顺序可以交换

5. 举例
   以输入：[“10”,“0001”,“111001”,“1”,“0”]，m = 3，n = 3为例

   最后dp数组的状态如下所示：
   

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n +1));
        for (string str : strs) {//遍历物品
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for (char c : str) {
                if (c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {//遍历背包容量，从后向前遍历，二维的分别遍历
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};