代码随想录算法训练营第三十九天 | 62.不同路径、63. 不同路径 II
打卡第39天，动态规划咯。
今日任务
- 62.不同路径
- 63.不同路径 II
62.不同路径
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
提示：
1 <= m, n <= 100- 题目数据保证答案小于等于
2 * 109
我的题解
- 确定dp数组以及下标定义
本题求到达（m，n）坐标的路径数，而坐标（m，n）可以由（m - 1，n）和（m，n - 1）坐标移动一格到达，所以想要知道到达（m，n）坐标的路径数，必须知道到达（m - 1，n）和（m，n - 1）坐标路径数，所以dp里面到存的是到达此坐标的路径数。 - 递推公式
推导公式为 d p [ i ] = d p [ i − 1 ] [ j ] + d p [ i ] [ j − 1 ] dp[i] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] dp[i]=dp[i−1][j]+dp[i][j−1] - dp初始化
dp初始化 d p [ i ] [ 0 ] = 1 ， d p [ 0 ] [ j ] = 1 dp[i][0] = 1，dp[0][j] = 1 dp[i][0]=1，dp[0][j]=1 - 确定遍历顺序
遍历顺序从左到右，从上到下。 - 举例推导dp数组
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<vector<int>> dp(m, vector<int> (n, 0)); //dp[i][j]表示到（i，j）有多少条不同的路径。
for(int i = 0; i < m; i++) {
dp[i][0] = 1; // 初始化
for(int j = 1; j < n; j++) {
if(i == 0) dp[i][j] = 1; //初始化
else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]; //递推公式，每次到达一个坐标，都是从他的两 上、前一坐标移动过来，所以到达目前这个坐标的路径等于到达上、前坐标的路径和
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
};
- 时间复杂度：O(n * m);
- 空间复杂度：O(n * m);
优化空间
压缩空间，一维数组解决
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<int> dp(n, 1);
for(int i = 0; i < m - 1; i++) {
for(int j = 1; j < n; j++) {
dp[j] = dp[j - 1] + dp[j];
//递推公式，每次到达一个坐标，都是从他的两 上、前一坐标移动过来，所以到达目前这个坐标的路径等于到达上、前坐标的路径和
}
}
return dp[n - 1];
}
};
- 时间复杂度：O(n * m);
- 空间复杂度：O(n);
代码随想录
数论做法
可以看出一共m，n的话，无论怎么走，走到终点都需要 m + n - 2 步。
在这m + n - 2 步中，一定有 m - 1 步是要向下走的，不用管什么时候向下走。
那么有几种走法呢？ 可以转化为，给你m + n - 2个不同的数，随便取m - 1个数，有几种取法。
那么这就是一个组合问题了。 C m + n − 2 m − 1 C^{m-1}_{m+n-2} Cm+n−2m−1
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
long long numerator = 1; // 分子
int denominator = m - 1; // 分母
int count = m - 1;
int t = m + n - 2;
while (count--) {
numerator *= (t--);
while (denominator != 0 && numerator % denominator == 0) {
numerator /= denominator;
denominator--;
}
}
return numerator;
}
};
- 时间复杂度：O(m)
- 空间复杂度：O(1)
63.不同路径 II
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
示例 1：
输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2：
输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1
提示：
m == obstacleGrid.lengthn == obstacleGrid[i].length1 <= m, n <= 100obstacleGrid[i][j]为0或1
我的题解
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
int m = obstacleGrid.size();
int n = obstacleGrid[0].size();
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n)); //dp[i][j]表示到（i，j）有多少条不同的路径。
dp[0][0] = !obstacleGrid[0][0]; //初始化
for(int i = 1; i < n; i++) {//初始化
if(obstacleGrid[0][i] == 1) dp[0][i] = 0;
else dp[0][i] = dp[0][i - 1];
}
for(int i = 1; i < m; i++) {//初始化
if(obstacleGrid[i][0] == 1) dp[i][0] = 0;
else dp[i][0] = dp[i - 1][0];
}
for(int i = 1; i < m; i++) {
for(int j = 1; j < n; j++) {
if(obstacleGrid[i][j] == 1) dp[i][j] = 0;
else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]; //递推公式，每次到达一个坐标，都是从他的两 上、前一坐标移动过来，所以到达目前这个坐标的路径等于到达上、前坐标的路径和
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
};
- 时间复杂度：O(n × m)，n、m 分别为obstacleGrid 长度和宽度
- 空间复杂度：O(n × m)
优化空间
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
int m = obstacleGrid.size();
int n = obstacleGrid[0].size();
vector<int> dp(n); //dp[i][j]表示到（i，j）有多少条不同的路径。
dp[0] = !obstacleGrid[0][0];
// std::cout << dp[0] << " ";
for(int i = 1; i < n; i++) {
if(obstacleGrid[0][i] == 1) dp[i] = 0;
else dp[i] = dp[i - 1];
// std::cout << dp[i] << " ";
}
// std::cout << endl;
for(int i = 1; i < m; i++) {
if(obstacleGrid[i][0] == 1) dp[0] = 0;
else dp[0] = dp[0];
// std::cout << dp[i] << " ";
for(int j = 1; j < n; j++) {
if(obstacleGrid[i][j] == 1) dp[j] = 0;
else dp[j] = dp[j] + dp[j - 1]; //递推公式，每次到达一个坐标，都是从他的两 上、前一坐标移动过来，所以到达目前这个坐标的路径等于到达上、前坐标的路径和
// std::cout << dp[j] << " ";
}
// std::cout << endl;
}
return dp[n - 1];
}
};
- 时间复杂度：O(n × m)，n、m 分别为obstacleGrid 长度和宽度
- 空间复杂度：O(n)