利用MATLAB求解积分

在高等数学中,我们经常需要进行积分计算操作,积分在高等数学中占用比较重要的作用,在MATLAB中主要提供了int函数用于对于符号进行求积分的操作。

目录

积分的定义

int函数的调用方式

利用MATLAB中的int函数进行计算的例子


积分的定义

积分微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说,对于一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上,由曲线、直线以及轴围成的曲面梯形的面积值(一种确定的实数值)。(本段定义引自百度百科积分)

int函数的调用方式

int函数的有以下几种调用方式:

(1)int(y):这种情况下仅仅指定被积分的函数,没有添加其他的条件,此时MATLAB会按照系统默认的情况下对该符号表达式对其求不定积分。

例如,对于的符号表示进行积分操作:

y=\frac{1}{x^2}

​ MATLAB的代码如下所示:

syms x
y=1/(x^2);
int(y)

运行结果如下所示:

ans =
     -1/x

int(y)是MATLAB最简单的对于int函数的调用方式,可以方便对于对于不定积分的求解。

(2)int(y,x):这种调用下,是对于符号表达式y中指定于自变量x进行积分。

例如:

y=\int \frac{a}{\sqrt{1+x^2}}dx

 MATLAB代码如下所示:

syms x a
y=int(a/(sqrt(1+x^2)),x)

运行结果如下所示:

y =
    a*asinh(x)

当符号表达式中有多个变量的时候,可以使用这种调用方式对于指定自变量进行求解。

(3)int(y,x,floor,ceil) :这种调用方式用于y对于自变量x进行积分,其中floor表示的定积分的下限,而ceil表示的是定积分的上限,这种方式实际上是求解定积分的方式,函数所求的结果是定积分的结果。当floor和ceil中有Inf的值时候,则表示这是一个广义积分。

例如下面举例一个简单的定积分题目:

y=\int _{1}^{3}(2x+3)dx

 MATLAB代码如下所示:

syms x y
y=2*x+3;
int(y,x,1,3)

运行结果如下所示:

ans =
    14

利用MATLAB中的int函数进行计算的例子

当然在实际求解问题的时候,我们常常会遇到各种的符号表达式,下面这部分对于一些符号表达式进行求定积分和不定积分的操作。

下面我们利用MATLAB对于下面的例子求不定积分:

y=\int \frac{1}{sin^2xcos^2x}dx

y=\int \frac{x^2}{1+x^2}dx

y=\int \frac{tanx}{\sqrt{cosx}}dx

y=\int \frac{1}{1+e^x}dx

利用MATLAB进行求解的代码如下所示:

syms x
y1=int(1/(sin(x)^2*cos(x)^2),x)
y2=int((x^2)/(1+x^2),x)
y3=int(tan(x)/(sqrt(cos(x))),x)
y4=int(1/(1+exp(x)),x)

运行结果如下所示:

y1 =
     -2*cot(2*x) 
y2 =
     x - atan(x)
y3 =
     2/cos(x)^(1/2)
y4 =
     x - log(exp(x) + 1)

利用MATLAB对于下面示例求定积分:

y=\int ^{\frac{\pi }{2}}_{\frac{\pi }{2}}(x^3+sinx)dx

y=\int ^{\frac{5\pi }{4}}_{\frac{\pi }{4}}(1+sin^2x)dx

y=\int ^{\frac{\pi }{2}}_{\frac{\pi }{4}}\frac{sinx}{x}dx

y=\int _0^{\infty }\frac{x^2}{x^4+x^2+1}dx

 利用MATLAB进行求解的代码如下所示:

syms x
y1=int(x^3+sin(x),x,-pi/2,pi/2)
y2=int((1+sin(x)^2),x,pi/4,5*pi/4)
y3=int(sin(x)/x,x,pi/4,pi/2)
y4=int((x^2)/(x^4+x^2+1),x,0,Inf)

运行结果如下所示:

y1 = 
     0
y2 =
     (3*pi)/2
y3 =
     sinint(pi/2) - sinint(pi/4)
y4 =
     (pi*3^(1/2))/6

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