_38LeetCode代码随想录算法训练营第三十八天-动态规划完全背包 | 518.零钱兑换II、377.组合总和Ⅳ
_38LeetCode代码随想录算法训练营第三十八天-动态规划完全背包 | 518.零钱兑换II、377.组合总和Ⅳ
题目列表
- 完全背包
- 518.零钱兑换II
- 377.组合总和Ⅳ
完全背包
代码随想录地址：https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85.html
题目
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
背包最大重量为4。
物品为：
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
每件商品都有无限个！
问背包能背的物品最大价值是多少？
与01背包的不同
以下思考仅针对一维dp数组。
第一点：背包的遍历顺序不同。01背包的背包遍历顺序是逆序，是为了保证每个物品不会被加入第二次；但是在完全背包中，每个物品可以被加入无限次，因此完全背包中的背包遍历顺序是顺序的。
第二点：物品在外层循环还是背包在外层循环。在01背包中，由于背包遍历顺序是逆序的，如果外层循环是背包，内层循环是物品的话，那么遍历最后每个背包只会装下一个物品，可能不会求得背包背到最大值；因此01背包中要求物品是外层循环背包是内层循环。在完全背包中，背包遍历顺序是顺序的，每个dp[i]都是取决于其左面的值，不管外层循环是物品还是背包，都能求得dp[i]，因此在完全背包中，背包的物品的遍历顺序不固定，都可以。
代码
// 先遍历物品，在遍历背包
void test_CompletePack() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_CompletePack();
}
518.零钱兑换II
代码随想录地址：https://programmercarl.com/0518.%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2II.html
题目
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
示例 1：
输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2：
输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。
示例 3：
输入：amount = 10, coins = [10]
输出：1
提示：
1 <= coins.length <= 3001 <= coins[i] <= 5000coins中的所有值 互不相同0 <= amount <= 5000
思路
但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！
组合与排列的区别：组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。
动态规划五部曲：
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
- 确定递推公式
dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。
所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
- dp数组如何初始化
首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。
dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。
- 确定遍历顺序
本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？
完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的：因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！
而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。
我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。
代码如下：此时得到的是组合个数
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
如果把两个for交换顺序，代码如下：此时得到的是排列个数，因为加入物品可以有 2，1 也可以有1，2
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
- 举例推导dp数组
草稿纸上算了。
代码
/*
* @lc app=leetcode.cn id=518 lang=cpp
*
* [518] 零钱兑换 II
*/
// @lc code=start
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
//定义和初始化dp数组
vector<int> dp(amount + 1, 0);
dp[0] = 1;//为了保证递推正常工作
//遍历
for(int data : coins)
for(int j = data; j <= amount; j++)
dp[j] += dp[j - data];
return dp[amount];
}
};
// @lc code=end
377.组合总和Ⅳ
代码随想录地址：https://programmercarl.com/0377.%E7%BB%84%E5%90%88%E6%80%BB%E5%92%8C%E2%85%A3.html
题目
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
示例 2：
输入：nums = [9], target = 3
输出：0
提示：
1 <= nums.length <= 2001 <= nums[i] <= 1000nums中的所有元素 互不相同1 <= target <= 1000
**进阶：**如果给定的数组中含有负数会发生什么？问题会产生何种变化？如果允许负数出现，需要向题目中添加哪些限制条件？
思路
与518题不同的地方在于本题求的是排列数，而不是组合数，因此遍历循序要改为：外层遍历背包，内层遍历物品。
代码
/*
* @lc app=leetcode.cn id=377 lang=cpp
*
* [377] 组合总和 Ⅳ
*/
// @lc code=start
class Solution {
public:
int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
//定义和初始化dp数组
vector<int> dp(target + 1, 0);
dp[0] = 1;
//遍历 外层循环是背包，内层循环是物品
for(int j = 0; j <= target; j++)
for(int data : nums)//这个地方的INT_MAX限制我有点看不明白，但是只有这样才能通过
if(j - data >= 0 && dp[j] <= INT_MAX - dp[j - data])
dp[j] += dp[j - data];
return dp[target];
}
};
// @lc code=end