高中奥数 2021-08-10

2021-08-10-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P003 例4）

凸五边形满足,,是和的交点.求证:平分线段.

证明

图1

如图,由条件知,所以

四边形四边形.(1)

设,,由(1)即.(2)

设,由Ceva定理知

所以为中点,故平分线段,证毕.

2021-08-10-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P003 例5）

已知凸四边形满足,.是线段上一点,是线段上一点,满足、、、四点共圆.作顺向相似于;作顺向相似于.求证:、、三点共线.(2008年第七届女子数学奥林匹克)

证明

图2

如图,将、、、四点所共圆的圆心记作,连结、、、、.

在中,是外心,故.

又,.

于是,

由此可知.(1)

另一方面,由、、、四点共圆知

.(2)

综合(1),(2)可知,四边形四边形,由此得

.(3)

同理,可得

.(4)

(3),(4)表明、、三点共线.

2021-08-10-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P004 例6）

设凸四边形对角线交于点.、的外接圆交于、两点,直线分别交、的外接圆于、两点.求证:是线段的中点.(2006年女子数学奥林匹克)

证明

图3

如图,连结,,,,,.

由,,故,得

.(1)

同理,,得

.(2)

由(1)(2)得.(3)

又,.故

,得

.(4)

将(4)代入(3),即得.