动态规划

Dynamic Programing, DP.

通过下面这个问题来了解一下DP基础

有n种面值的硬币，其面值分别为(V1, V2, V3,...,Vn)，求组合出价值为S的方法，且消耗硬币数量最少，或者说明不能组合出S。

下面是解决DP问题的过程：

找到一个状态S，状态S下已有最优解，在状态S的帮助下，我们可以找到下一个状态的最优解。

状态S的上一个状态为i =S-vj (vj

举个具体的例子来更好的帮助我们理解这个问题

现有面值分别为1、3和5的3种硬币，求组合出总值为S=11的解（只需给出最少的硬币个数）。

v=[v1, v2, v3]=[1, 3, 5], S=11

State 0:也就是S=0，组合出总价值为0的解是0，即用0个面值为0的硬币组合出总价值为0的情况。

State 1: 当前S=1还没有解，小于或等于S=1的币种只有v1=1，所以现在问题变为State S-v1=0，已有解。所以，S=1的解应为1 = v1 + 0 = 1 + 0，需要1枚面值为1的硬币

State 2: S=2，小于或等于2的币种只有v1=1的币种，所以问题同样变为State S-v1=1，State 1已经有解。所以，S=2的解应为2 = v1 + State 1的解，需要2枚面值为1的硬币

State 3: S=3, 小于或等于3的币种有v1=1和v2=3两种，所以问题变为State S-v1 = 2，或者State S-v2 = 0。State 2的解需要2枚硬币，State 0的解需要0枚硬币，所以State 3的状态应该变为v3 + State 0，即需要1枚面值为3的硬币

State 4: S=4，小于或等于4的币种有v1=1和v2=3两种，问题可变为State S-v1= 3，或者State S-v2=1，State 3和State 1都需要1枚硬币，所以State 4存在两种转换方式，State 4=v1 + State 3或者State 4=v2 + State 1均可，需要2枚硬币

State 5: S=5，小于或等于5的币种有v1=1、v2=3和v3=5三种，问题可变为State S-v1，State S-v2和State S-v3，即State 4、State 2和State 0，State 4需要2枚硬币，State 2需要2枚硬币，State 0需要0枚硬币，所以State 5 = v3 + State 0，需要1枚面值为5的硬币

State 6: S=6，问题转换为State 5, State 3和State 1，需要2枚硬币

State 7: S=7，问题转换为State 6, State 4和State 2，需要3枚硬币

State 8: S=8，问题转换为State 7, State 5和State 3，需要2枚硬币

State 9: S=9，问题转换为State 8, State 6和State 4，需要3枚硬币

State 10: S=10，问题转换为State 9, State 7和State 5，需要2枚硬币

State 11: S=11，问题转换为State 10, State 8和State 6，需要2枚硬币

pseudo code

如果我们回溯一下某个状态的转移过程，可以得到某个具体的和S是由什么硬币组成的。例如，对于S=11，由1+10转移而来，10由5+5转移而来，故11由1+5+5组成。