高中奥数 2022-01-20

2022-01-20-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P053 习题21）

设为无理数,为大于1的整数.证明:为无理数.

证明

如果存在,使得为有理数,记,,那么为有理数,而为无理数.

下面对归纳来证:若,则对任意,都有

注意到,结合,可知当时,(1)都成立.

现设,,则由,结合,为有理数可知.从而(1)成立.

利用(1)可知.这是一个矛盾.所以,命题成立.

2022-01-20-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P053 习题22）

设为一个实数数列,定义如下:,,.问:有多少个不同的实数,使得?

若,则,依此结合数学归纳法,可知当时,都有,从而;若,同上可得时,都有,也不会有.因此,使的.

现可设,,则.若,则.

于是,由数学归纳法原理知对任意,有.

因此,由,得,从而,即,.

结合,知,利用正弦函数在上是非负的,且是单调递增的,可得有个不同的实数,使得.

2022-01-20-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P053 习题23）

实数数列满足:对,都有.求代数式的最大可能值.

解

所求的最大值为,在时,可以取到.

下面证明:对满足条件的数列,有

注意到,将从大到小排列为后,对,设,.

我们总可以找到一个下标,使得,或者,(这个结论可从和两种情形结合反证法推出).

不妨设为前者,并设,,则,,此时

$\begin{aligned} 1&\geqslant \left|x_{j}-x_{j+1}\right|\\ &=\left|y_{r}-y_{t}\right|\\ &=\left|\left(y_{r}-y_{r+1}\right)+\left(y_{r+1}-y_{r+2}\right)+\cdots+\left(y_{i}-y_{i+1}\right)+\cdots+\left(y_{t-1}-y_{t}\right)\right|\\ &=\left|y_{r}-y_{r+1}\right|+\left|y_{r+1}-y_{r+2}\right|+\cdots+\left|y_{i}-y_{i+1}\right|+\cdots+\left|y_{t-1}-y_{t}\right|\\ &\geqslant \left|y_{i}-y_{i+1}\right| \end{aligned}$ (这里用到递减排列),因此,仍有.

进一步,我们不妨设(若,则用代替后讨论),排序后,设,那么

$\begin{aligned} S&=\sum\limits_{i=1}^{2011}\left|x_{i}\right|-\left|\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\right|\\ &=\left(y_1+\cdots+y_{k}\right)-\left(y_{k+1}+\cdots+y_{2011}\right)+\left(y_{1}+\cdots+y_{2011}\right)\\ &=2\left(y_{1}+\cdots+y_{k}\right). \end{aligned}$

为证明(1)成立,我们只需证明:

分两种情形来处理.

情形一:若,则由,知

结合可知

$\begin{aligned} &y_{1}+\cdots+y_{k}\\ \leqslant &-\left(\left(y_{k}-1\right)+\cdots+\left(y_{k}-\left(2011-k\right)\right)\right)\\ =&-\left(2011-k\right)y_{k}+1+2+\cdots+\left(2011-k\right)\\ \leqslant&1+2+\cdots+\left(2011-k\right)\\ \leqslant&1+2+\cdots+1005. \end{aligned}$

此时,(2)成立.

情形二:若则同上可知

$\begin{aligned} &y_{1}+\cdots+y_{k}\\ \leqslant&\left(y_{k+1}+k\right)+\left(y_{k+1}+\left(k-1\right)\right)+\cdots+\left(y_{k+1}+1\right)\\ =&ky_{1}+1+\cdots+k\\ \leqslant&1+2+\cdots+k\\ \leqslant 1+2+\cdots+10005. \end{aligned}$

(2)亦成立综上可知,所求的最大值为.

2022-01-20-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P054 习题24）

设是一个由正实数组成的无穷数列.证明:存在无穷多个正整数,使得.

证明

采用反证法处理,如果命题不成立,那么,存在正整数,使得对任意n,都有

现在定义一个正实数数列:,,.则由(1)可知,对,都有.

注意到,对,有,即,裂项求和,得

这表明和数列是一个有界数列,这里.

另一方面,由(2)可知,当时,有

$\begin{aligned} c_{n}&\geqslant c_{n-1}\cdot 2^{-\frac{1}{n}}\geqslant c_{n-2}\cdot 2^{-\left(\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\right)}\geqslant \cdots\geqslant \geqslant c_{N}\cdot 2^{-\left(\frac{1}{N+1}+\cdots+\frac{1}{n}\right)}\\ =&C\cdot 2^{-\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)}. \end{aligned}$

这里为常数.

对任意,若,则

$\begin{aligned} &1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}\\ \leqslant& 1+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{7}\right)\cdots\left(\dfrac{1}{2^{k-1}}+\cdots+\dfrac{1}{2^{k}-1}\right)\\ \leqslant&1+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2^{k-1}}+\cdots+\dfrac{1}{2^{k-1}}\right)\\ =&k. \end{aligned}$

所以,此时有.

现在设,,那么对任意,有

$\begin{aligned} &c_{2^{r}}+c_{2^{r}+1}\cdots +c_{2^{m}-1}\\ =&\left(c_{2^{r}}+\cdots+c_{2^{r+1}-1}\right)+\cdots+\left(c_{2^{m-1}}+\cdots+c_{2^{m}-1}\right)\\ \geqslant&\left(C\cdot 2^{-\left(r+1\right)}\right)\cdot2^{r}+\cdots+\left(C\cdot 2^{-\left(m+1\right)}\right)\cdot 2^{m}\\ =&\dfrac{C\left(m-r\right)}{2}. \end{aligned}$

这表明,当时,有,与为有界数列矛盾.

所以,命题成立.

高中奥数 2022-01-20

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