矩阵的四个基本子空间

目录

前言

一、基本概念

二、列空间

三：零空间

四、行空间

五、左零空间

六、关系

总结

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前言

线性代数在工程实际中有着非常广泛的应用，可以将具体问题抽象为矩阵的各种运算，并从中把握问题的本质。线性代数概念主要围绕矩阵展开，矩阵的四个基本子空间是每个矩阵所独有的属性。本文将展示如何求取一个特定矩阵的四个基本子空间，针对每个子空间都将介绍其一组基、维数以及向量长度（即所在的向量空间维数）。借此可以对矩阵这一数学概念有一个更深刻的了解。

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一、基本概念

向量空间：

设V是一个非空集合，P是一个域，若：

1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。

2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法（亦称数量乘法），即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。

3.加法与纯量乘法满足线性空间八大条件。

则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。

基：

若向量空间V中一组向量满足：

1.线性无关。

2.V中任一向量可由此向量组线性表出。

则称该组向量V中的一个基。

维度:

张成一个线性空间所需的最少元素个数称为该空间的维度。

二、列空间

将矩阵的每一列视为一个向量，列空间就是这些向量所张成的空间。显然，列空间是空间的一个子空间。

假设存在一个具体的矩阵，这是一个矩阵。观察它的四个列向量，只要找出这四个列向量的一个最大无关组就可以将其作为一组列空间的基。而若要找出一组向量中有用而非多余的几个向量，可以采用高斯消元法不断对矩阵做初等行变换，将其化为行最简型矩阵R。

化简后，可以取主元所在的列（第一、二列）作为基向量。需要注意的是，行变换不会改变矩阵的行空间，但会改变列空间，因此不能将、作为原矩阵列空间的基。

基:、

维数:2

三：零空间

矩阵的零空间即线性齐次方程组的解空间。矩阵的零空间。

要求取矩阵A的零空间，实际上就是求解线性齐次方程组，所得的基础解系就是零空间的基，基的个数就是零空间的维度。

由二，，则。选取、为自由变量，解得：

基：、

维数：2

四、行空间

与矩阵的列空间类比，行空间即将矩阵的每一行视为一个行向量，这些行向量所张成的空间。求矩阵的行空间，即求矩阵的列空间，所以矩阵的行空间可表示为。。

同样对采用高斯消元法，可以得到行空间的一组基和维数。

基：、

维数:2

五、左零空间

左零空间即的零空间。那么左零空间这个名字是怎么来的呢？要求的零空间，即解方程组。将方程两边同时转置，得。可以看出，左零空间即未知数在矩阵左边以行向量的形式出现时的解空间。左零空间。

采用与解齐次线性方程组相同的算法求解即可得到矩阵的左零空间的一组基和维数。

基：

维数：1

六、关系

通过观察可以得到，为A的列数，为A的行数。

事实上它们有更普适的关系：

其中为矩阵A的秩，m、n分别为矩阵的行数、列数。

因此，已知矩阵的秩和形状，可以方便地得出有关矩阵齐次线性方程组的一些信息。

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总结

本文简单介绍了与矩阵有关的四个基本子空间的概念，并给出一个具体的矩阵动手求出它的四个子空间。最后对四个字空间之间的关系做了简要介绍。除此之外，子空间之间还有正交关系：零空间与行空间正交、列空间与左零空间正交，不再做展开介绍。