多重背包---二进制拆分---java小知识

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前言

背包问题分为：01背包，完全背包以及多重背包，本文主要讲解多重背包。
01背包以及01背包的优化讲解：
01背包：https://blog.csdn.net/m0_55486529/article/details/123806820
01背包优化：https://blog.csdn.net/m0_55486529/article/details/123831655
完全背包：https://blog.csdn.net/m0_55486529/article/details/123854386

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提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、什么是多重背包？

给定n种物品，每种物品都有重量w,和价值v;，第i种物品有c;个。背包容量为W，求解在不超过背包容量的情况下如何放置物品，使背包中物品的价值之和最大。
首先，01背包是指物品的个数为一，完全背包是物品的个数没有限制（无穷多），多重背包就是完全背包和01背包的组合，当物品个数c[ i ] * 重量w [ i ] >= 背包容量 j时，相当于完全背包，当 c[ i ]*w[ i ] 可以通过暴力拆分或二进制拆分将多重背包问题转化为01背包问题，也可以通过数组优化解决可行性问题。
其中，完全背包就像完全背包一样解决（上面有链接，可以学习完全背包）
最难的就是怎么转化为01背包，这里我们使用二进制拆分。

二、二进制拆分

其实二进制拆分，我们可以把它理解成将c[i]个物品打包分成 几份，相当于把100个苹果分成好几箱，每一箱的个数是2的几次方，最后如果不够就把剩下的放一箱。

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三、例题及代码实现

代码如下：

public class test {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO 自动生成的方法存根
		int[] w= {2,5,4,2,3};  //单个物品重量
		int[] v= {6,3,5,4,6};  //单个物品价值
		int[] c= {2,2,5,5,4};  //物品个数
		System.out.println(bagkiller(c,w,v,10));
	}
	public static int bagkiller(int[] c,int[] w,int[] v,int n) {
		int [] dp=new int[n+1];
		for (int i=0;i<w.length;i++) {   
			if (c[i]*w[i]>=n) {  //如果物品个数c[ i ] * 重量w [ i ] >= 背包容量 j时，相当于完全背包
				for (int j=w[i];j<=n;j++) {  //转化为完全背包
					dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
			}
			}else {
				for (int k=1;c[i]>0;k<<=1) {  //二进制拆分
					int x=Math.min(c[i], k);  //判断剩余的个数是否足够二进制拆分
					for (int j=n;j>=w[i];j--) {   //转化为01背包
						dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-w[i]*x]+v[i]*x);   
					}
					c[i]-=x;
				}
			}
		}
		return dp[n];
	}
}

结果：

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总结

以上就是今天要讲的内容，本文仅仅简单介绍了完全背包的概念，以及常用解决方法，以及二进制拆分的基本知识。