可持久化线段树（主席树）

引入

我们先来看一道题：

• 给定 $n$ 个数，一共 $m$ 次询问，每次都要询问区间 $[l,r]$ 的第 $k$ 大的数。 其中 $n,m,l,r,k$ 均不超过 $2\cdot 10^5$，保证询问有答案。

我们会发现如果我们用普通的线段树好像解决不了这样的问题，这时候我们就需要新的做法，也就是棵持久化线段树（主席树）。

思路

我们知道我们每次插入线段树也都代表了一次历史记录，我们来考虑如何存储这种历史记录。

最暴力的做法就是每次我们都新开一棵线段树，用来存储到目前为止插入的所有节点，很明显，这个空间明显存不下，我们来想想如何优化空间。

我们会发现再新建一棵线段树的时候，会有许多节点根上一棵线段树是一模一样的（具体点说，我们每次插入都只会改变 $lo{g}_2(n)$ 个节点），这时候我们就不需要在新开点记录这些一模一样点的信息，可以直接引用这些点，没必要为其新开点。

当我们插入一个点时，我们就新开一个线段树，然后在这个线段树上插入这个数，插入完后这个线段树其实就是一条链，我们再插入的时候就可以判断，如果我们插入的这个树是当前节点的左/右儿子，那我们就将当前节点的右/左儿子设为上一棵线段树相同值域节点的右/左儿子。

我们查询的时候就可以按照普通线段树来查询，还要记录你在第 $i$ 次插入线段树时的节点是哪一个节点。

代码

//rt1就是你新插入的线段树的当前节点，rt2就是上一棵线段树的当前节点
void insert(int &rt1, int rt2, int l, int r, int val) {
    rt1 = ++cnt;//我们因为改变了当前节点，就为他新建一个节点来存储当前的信息。
    tree[rt1] = tree[rt2];//然后我们可以先将我们当前左右儿子的信息设为上一棵线段树的，再枚举时在更改
    if (l == r) {//如果枚举到了叶节点
        tree[rt1].sz++;
        return ;
    }
    int mid = (l + r) / 2;
    if (val <= mid)//如果我们要改变的是当前节点的左儿子，就去枚举并改变它
        insert(tree[rt1].lson, tree[rt2].lson, l, mid, val);
    else
        insert(tree[rt1].rson, tree[rt2].rson, mid + 1, r, val);
    updata(rt1);//记住一定要记得更新
}

例题

• 【模板】可持久化线段树 2：洛谷