AVL树（平衡二叉搜索树）详解及C++代码实现

AVL树简介

AVL树实际上一个引入了平衡因子的二叉搜索树，该平衡因子保证了每个节点的左右子树高度之差的绝对值不超过1，这样就可以降低树的高度，减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
1.它的左右子树都是AVL树
2.左右子树高度之差（平衡因子）的绝对值不超过1（-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，他就是AVL树，如果它有n个结点，那么它的高度就是log2n,搜索时间复杂度O(log2n).

AVL树的插入

1.按照二叉搜索树的方式插入新节点
2.调整节点的平衡因子

pCur插入后，pParent的平衡因子需要调整，插入之前，pParent的平衡因子分为三种情况-1 0 1
1.如果pCur插入到pParent的左侧，只需要给pParent的平衡因子-1
2.如果pCur插入到pParent的右侧，只需要给pParent的平衡因子+1

插入后的平衡因子会有下面三种情况 0 正负1 正负2
1.如果平衡因子为0，说明插入前平衡因子为正负1，插入后满足性质
2.如果平衡因子为正负，说明插入前平衡因子为0，插入后以pParent为根的高度增加，需要继续向上更新
3.如果平衡因子为正负2，违反了AVL树的性质，需要进行旋转处理

AVL树的旋转

当插入节点后造成了不平衡也就是平衡因子为正负2，此时就需要进行旋转。
旋转分为4种情况：

1.新节点插入较高左子树的左侧 --左左：右单旋

2.新节点插入较高右子树的右侧 --右右：左单旋
参考第一种情况

3.新节点插入较高左子树的右侧 --左右：先左单旋再右单旋

4.新节点插入较高右子树的左侧 --右左：先右单旋再左单旋
参考第三种情况图形

AVL树的验证

1.验证为二叉搜索树
看中序遍历可以得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2.验证为平衡树
（1）每个节点子树高度差的绝对值不超过1（这是没有引入平衡因子）
（2）节点的平衡因子是否正确

AVL树代码

AVLTree.h

#pragma once

#include
#include
#include
#include

using namespace std;


template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	pair<K, V> _kv;
	int _bf;  // balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
struct AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		cur->_parent = parent;

		// 控制平衡
		// 1、更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (abs(parent->_bf) == 1)
			{
				parent = parent->_parent;
				cur = cur->_parent;
			}
			else if (abs(parent->_bf) == 2)
			{
				// 说明parent所在子树已经不平衡了，需要旋转处理
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if ((parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1))
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}

				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}

		return true;
	}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}
private:
	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}

		int leftHT = Height(root->_left);
		int rightHT = Height(root->_right);
		int diff = rightHT - leftHT;

		if (diff != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		return abs(diff) < 2
			&& _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);
	}

	int Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		return max(Height(root->_left), Height(root->_right)) + 1;
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* ppNode = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (_root == parent)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}

			subR->_parent = ppNode;
		}

		subR->_bf = parent->_bf = 0;
	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}

		Node* ppNode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (_root == parent)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}

			subL->_parent = ppNode;
		}

		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		subLR->_bf = 0;
		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			// 错的
			/*parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 1;*/

			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		subRL->_bf = 0;
		if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subR->_bf = 1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

test.cpp

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include"AVLTree.h"



void TestAVLTree1()
{
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };  // 测试双旋平衡因子调节
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	AVLTree<int, int> t1;
	for (auto e : a)
	{
		t1.Insert(make_pair(e, e));
	}

	t1.InOrder();
	cout << "IsBalance:" << t1.IsBalance() << endl;

}

//验证AVLTree
void TestAVLTree2()
{
	size_t N = 10000;
	srand(time(0));
	AVLTree<int, int> t1;
	for (size_t i = 0; i < N; ++i)
	{
		int x = rand();
		t1.Insert(make_pair(x, i));
		/*	bool ret = t1.IsBalance();
			if (ret == false)
			{
				int u = 1;
			}
			else
			{
				cout << "Insert:" << x << " IsBalance:" <
	}
	cout << "IsBalance:" << t1.IsBalance() << endl;
}


int main()
{
	//TestAVLTree1();
	TestAVLTree2();

	return 0;
}

这就是AVL树的一些介绍，但并没有写上AVL树的删除是因为AVL树删除一个结点将要更新平衡因子到根节点，效率不高，不常见。

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，它的每个结点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这就保证了它的时间复杂度时log(N)。
但是对AVL树的结构修改效率不高，因为要保证平衡而进行旋转。