【学习笔记】CF1292F Nora‘s Toy Boxes

没啥好说的，接着干吧

这种把性质隐藏得很深的题目非常有趣。

以我现在的水平，估计还是无法独立做出来

首先我们对于$(i,j)$如果满足$a_i|a_j$，那么$i$向$j$连一条边。

当然，这道题并不是随便给出一个图那么简单。我们可以推出几个简单的性质：

$1.1$ 如果$i\to j，j\to k$，那么$i\to k$ （传递闭包性质）
$1.2$ 这是一个$DAG$

这个性质看起来非常亲切啊。这样我们每次选择的$i$一定是入度为$0$的点，并且这个点一定不会被删除。更神奇的是，这样的点不会超过$\frac{m}{4}$个。这个用抽屉原理不难理解。

那么我们考虑倒着做，一个点能够被加入当且仅当存在一个度数$>0$并且有连边的关键点，这里的$dp$非常具有人类智慧，我们需要维护一个标记。假设关键点的集合为$S$，最开始所有关键点都没有标记，假设加入的点没有重复，如果这个点能到达的关键点当中存在一个点$p$被标记，那么这个点是被删除的，否则这个点没有被删除；然后把这个点能到达的所有关键点打上标记。

那么我们考虑，如果$S$发生了变化，说明这个点之前没有被加入过，否则，这个点显然被删除了，注意到$S$是一个并集，那么我们只需要记录之前被删除的点数目即可。这里有一个小小的推导过程（我在这里还是呈现出来了）：记数字$i$对应的关键点集合为$S_i$，那么没有被删除的点的$S_i$显然是不交的，并且被删除的节点$j$对应的$S_j$不可能使这些$S_i$重新相交（这可以画图通过贪心证明，因为要使得删除的点的数目最多）。因此，假设有$sz$个点加入后不会改变$S$的大小，并且之前已经删除了$i$个点，那么能加入的点的数目为$sz-i-1$（其中一个点没有被删除）。这样就做完了。注意转移顺序即可。

最后把所有连通块的答案合并起来即可。

复杂度$O(2^{\frac{m}{4}}{n}^2)$。