有界随机变量是Sub-Gaussian

定理：是一个随机变量，而且，设，，我们证明是一个次高斯随机变量而且有次高斯系数，也就是说：

证明：我们设 ,

容易计算得到：

其中                              （）

引入下面的概率测度：在的时候，

有了概率测度就可以定义积分，容易知道在这个概率测度下，一个随机变量Y的积分为：

所以()就是在这个概率测度下的积分。

因此是X在这个概率测度下的方差。

然而，所以他在任何概率测度下，方差 都小于等于

所以对在0处展开:

所以代回就得到要求的结论。

另一个比较有意思的方法，采用对称技术，但是得不到这么好的结果：