LeetCode 198. 打家劫舍 && 动态规划

题目要求

原题目链接：198. 打家劫舍

题目要求如下：

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例如下：

示例1：
输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。
示例2：
输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

解法：动态规划

思路

观察题目要求，易知对于第n间房屋，可以选择偷窃或不偷窃

• 如果偷窃第n间房屋，那么根据题目要求就不能偷窃第n-1间房屋，最终偷窃总金额就是前n-2间房屋的最高金额与第n间房屋的金额之和。
• 如果不偷窃第n间房屋，那么最终偷窃总金额就是前n-1间房屋的最高金额。

大问题依赖其子问题的解，很明显可以使用动态规划解决。

对于第n间房屋偷还是不偷的决策，需要比较的就是前n-1间房屋的最高金额和前n-2间房屋的最高金额+第n间房屋哪个金额最多。

使用dp[i]表示前i间房屋偷窃的最高金额，可以得到如下状态转移方程：
dp[i] = max(dp[i - 1, dp[i - 2] + nums[i])

按照动态规划习惯性的思维，可能会想到直接使用一个长度等同于nums[]数组的dp[]数组进行状态表示，这样做的空间复杂度就是O(n)，n为原数组长度，但观察问题可以发现，每次自底向上遍历实际上使用到的只有dp[i - 2]和dp[i - 1]，其余的空间都不会再使用到，因此可以对此进行优化，只使用固定两个额外空间就可以满足需求，空间复杂度被优化到O(1)级别。

完整AC代码

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
    	//边界条件判断
        if(nums.length == 1)return nums[0];
        // dp[0]永远表示 nums[当前房屋 - 2]时的最优解
        // dp[1]永远表示 nums[当前房屋 - 1]时的最优解
        int[] dp = new int[2];
        // 初始化
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
        for(int i = 2; i < nums.length; i++){
            int temp = dp[1];
            dp[1] = Math.max(dp[0] + nums[i], dp[1]);
            dp[0] = temp;
        }
        return dp[1];
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，n为nums数组长度。
空间复杂度：O(1)，只是用了固定常数级别的额外变量。