【动态规划】leetcode 198. 打家劫舍

198. 打家劫舍

题目描述

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例1：

输入： [1,2,3,1]
输出： 4
解释： 偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例2：

输入： [2,7,9,3,1]
输出： 12
解释： 偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

提示

• $1<=nums.length<=100$
• $0<=nums[i]<=400$

方法：动态规划

解题思路

1. 确定 dp 数组以及下标的含义
   dp[i] 的定义：达到第 i 个房间所能偷窃到的最高金额。

2. 确定递推公式
   决定 dp[i] 的因素是第 i 房间偷还是不偷。

   如果偷第 i 座房屋，那么 dp[i] = dp[i - 2] + nums[i]; 即第 i - 1 座房屋是不考虑的，找出 i - 2 座房屋可以偷到的最大金额再加上当前第 i 座房屋可以偷到的金额。

   如果不偷第 i 座房屋， 那么 dp[i] = dp[i-1]; 即考虑 i - 1 座房屋可以偷到的最大金额。

   最后取两种情况取最大值，即 dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i-1]);

3. dp 数组如何初始化
   那么看一下递归公式，dp[i] 由 dp[i - 1]，dp[i - 2] 推出，既然初始化所有的 dp[i] 是不可能的，那么只初始化 dp[0] 和 dp[1] 就够了，其他的最终都是 dp[0]、dp[1]推出。

   所以初始化代码为： dp[0] = nums[0], dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

4. 确定遍历顺序
   dp[i] 是由 dp[i - 1]、dp[i - 2]推出，所以是从前到后遍历 nums 数组就可以了。

5. 举例推导 dp 数组
   拿示例 2：nums = [2, 7, 9, 3, 1] ，来模拟一下 dp 数组的状态变化，如下：

   下标 i	0	1	2	3	4
   nums[i]	2	7	9	3	1
   dp[i]	2	7	11	11	12

代码

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if(n == 1)  return nums[0];
        vector<int> dp(n);
        dp[0] = nums[0], dp[1] = max(nums[0], nums[1]);
        for(int i = 2; i < n; i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
        }
        return dp[n - 1];
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$。
• 空间复杂度：$O(n)$。