「代码随想录」本周学习小结！（动态规划系列五）

相信很多小伙伴刷题的时候面对力扣上近两千道题目，感觉无从下手，我花费半年时间整理了Github项目：leetcode刷题攻略。 里面有100多道经典算法题目刷题顺序、配有40w字的详细图解，常用算法模板总结，以及难点视频讲解，按照list一道一道刷就可以了！star支持一波吧！

周一

动态规划：377. 组合总和 Ⅳ中给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数（顺序不同的序列被视作不同的组合）。

题目面试虽然是组合，但又强调顺序不同的序列被视作不同的组合，其实这道题目求的是排列数！

递归公式：dp[i] += dp[i - nums[j]];

这个和前上周讲的组合问题又不一样，关键就体现在遍历顺序上！

在动态规划：518.零钱兑换II 中就已经讲过了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！

所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector& nums, int target) {
        vector dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

周二

爬楼梯之前我们已经做过了，就是斐波那契数列，很好解，但动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）中我们进阶了一下。

改为：每次可以爬 1 、 2、…、m 个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

1阶，2阶，… m阶就是物品，楼顶就是背包。

每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。

问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！

和昨天的题目动态规划：377. 组合总和 Ⅳ基本就是一道题了，遍历顺序也是一样一样的！

代码如下：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
                if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

代码中m表示最多可以爬m个台阶，代码中把m改成2就是本题70.爬楼梯可以AC的代码了。

周三

动态规划：322.零钱兑换给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数（每种硬币的数量是无限的）。

这里我们都知道这是完全背包。

递归公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

关键看遍历顺序。

本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。。

所以本题并不强调集合是组合还是排列。

那么本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！

外层for循环遍历物品，内层for遍历背包：

// 版本一
class Solution {
public:
    int coinChange(vector& coins, int amount) {
        vector dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
                    dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};

外层for遍历背包，内层for循环遍历物品：

// 版本二
class Solution {
public:
    int coinChange(vector& coins, int amount) {
        vector dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {  // 遍历背包
            for (int j = 0; j < coins.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != INT_MAX ) {
                    dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};

周四

动态规划：279.完全平方数给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少（平方数可以重复使用）。

如果按顺序把前面的文章都看了，这道题目就是简单题了。 dp[i]的定义，递推公式，初始化，遍历顺序，都是和动态规划：322. 零钱兑换 一样一样的。

要是没有前面的基础上来做这道题，那这道题目就有点难度了。

这也体现了刷题顺序的重要性。

先遍历背包，在遍历物品：

// 版本一
class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
                dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

先遍历物品，在遍历背包：

// 版本二
class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍历物品
            for (int j = 1; j <= n; j++) { // 遍历背包
                if (j - i * i >= 0) {
                    dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

总结

本周的主题其实就是背包问题中的遍历顺序！

我这里做一下总结：

求组合数：动态规划：518.零钱兑换II
求排列数：动态规划：377. 组合总和 Ⅳ、动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）
求最小数：动态规划：322. 零钱兑换、动态规划：279.完全平方数

此时我们就已经把完全背包的遍历顺序研究的透透的了！

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