【Hydro】龙格-库塔方法的公式推导

龙格-库塔方法的公式推导

考虑一阶常微分方程 $y^{\prime }=f(x,y)$，初始条件为 $y(x_0)=y_0$，我们希望求解其在区间 $[x_0,x_n]$ 上的数值解。为了简化问题，我们假设步长为 $h=\frac{x_n-x_0}{n}$，其中 $n$ 表示迭代次数，即时间步数。

首先，我们可以使用泰勒级数展开 $y(x_{i+1})$，得到：

$$y(x_{i+1})=y(x_i)+h{y}^{\prime }(x_i)+\frac{h^2}{2}{y}^{\prime \prime }(x_i)+O(h^3)$$

其中 $O(h^3)$ 表示高阶项，其大小与 $h^3$ 同阶或更高。由于我们无法直接求得 $y^{\prime \prime }(x_i)$，因此我们需要通过一阶导数 $y^{\prime }(x_i)$ 来近似计算二阶导数。

接下来，我们使用龙格-库塔方法的经典四阶公式，得到：

$$y_{i+1}=y_i+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$$

其中，

$$\begin{array}{rl}{k}_1& =hf(x_i,y_i)\\ k_2& =hf(x_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{k_1}{2})\\ k_3& =hf(x_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{k_2}{2})\\ k_4& =hf(x_i+h,y_i+k_3)\end{array}$$

这里的 $k_1,k_2,k_3,k_4$ 分别表示在 $y_i$ 处的四个斜率。直观上来说，这些斜率是在 $y_i$ 处、$y_i$ 到 $y_{i+1}$ 之间的四个点处计算得到的。

将上式代入泰勒级数展开式，我们可以得到：

$$y_{i+1}=y_i+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)+O(h^5)$$

这里的 $O(h^5)$ 表示高阶项，其大小与 $h^5$ 同阶或更高。因此，龙格-库塔方法是一种五阶收敛的数值积分方法，其误差随步长的减小而快速收敛。

python代码

    def runge_kutta(self, f, x0, y0, h, n):
        """
        使用龙格-库塔方法求解一阶常微分方程的数值解
        :param f: 函数 f(x, y) 的句柄，表示 y' = f(x, y)
        :param x0: 自变量的初始值
        :param y0: 因变量的初始值
        :param h: 步长
        :param n: 迭代次数
        :return: 返回一个二元组，包含自变量和因变量的数组
        """
        x = np.zeros(n + 1)
        y = np.zeros(n + 1)
        x[0] = x0
        y[0] = y0
        for i in range(n):
            k1 = f(x[i], y[i])
            k2 = f(x[i] + h / 2, y[i] + h / 2 * k1)
            k3 = f(x[i] + h / 2, y[i] + h / 2 * k2)
            k4 = f(x[i] + h, y[i] + h * k3)
            y[i + 1] = y[i] + h / 6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)
            x[i + 1] = x[i] + h
        return x, y