数学知识：欧拉函数（筛法求欧拉函数）

欧拉函数

欧拉函数 φ(n) 表示1~n中与n互质的数的个数

873. 欧拉函数

给定n个正整数ai，请你求出每个数的欧拉函数。

欧拉函数的定义
1 ~ N 中与 N 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为ϕ(N)。
若在算数基本定理中，N=p1^a1p2^a2…pm^am，则：
ϕ(N) = N∗(p1−1)/p1∗(p2−1)/p2∗…∗(pm−1)/pm

输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含一个正整数ai。

输出格式
输出共n行，每行输出一个正整数ai的欧拉函数。

数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2∗10⁹
输入样例：
3
3
6
8
输出样例：
2
2
4

欧拉函数公式的思路：
先将数 N 分解质因数，得到p1, p2……pk.
①从1~N中去掉p1, p2,……,pk的倍数
②加上所有pi * pj 的倍数（这些倍数在上步操作中被减了两次）
③减去所有pi * pj * pk 的倍数（这些倍数在上述两步操作中加减相抵了）
……
最终，求得 φ(N) = N(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pk)

Code:

#include 
#include 
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while(n --)
    {
        int x; 
        cin >> x;
        
        int res = x;
        for(int i = 2; i <= x / i; i ++)
            if(x % i == 0)
            {
                res = res / i * (i - 1);
                while(x % i == 0)  x /= i;
            }
        if(x > 1)  res = res / x * (x - 1);
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}

874. 筛法求欧拉函数

给定一个正整数n，求1~n中每个数的欧拉函数之和。

输入格式
共一行，包含一个整数n。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示1~n中每个数的欧拉函数之和。

数据范围
1≤n≤10⁶
输入样例：
6
输出样例：
12

筛法求欧拉函数的思路：
如果利用上道题的公式对每个数都求它们的质因数，那么时间复杂度就很高。我们可以用线性筛质数的方法进行优化，对于质数n而言，1~(n-1)都与它互斥，则它的欧拉函数值为(n-1)。
当 i % pj = 0时，pj 是 i 的最大质因子，pj*i 的所有质因子都出现在 i 的质因子中，
则 φ（ pj * i）= pj * φ( i )。
当 i % pj ≠ 0时，pj 是 pj * i 的最大质因子，且其不包含在 i 的质因子中，
则 φ( pj * i)= pj * φ( i ) * (1 - 1/pj) = φ( i ) * (pj - 1)。

Code:

#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 1000010;
typedef long long LL;

int phi[N], primes[N], cnt;
bool st[N];

LL get_eulers(int n)
{
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(!st[i])
        {
            primes[cnt ++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++)
        {
            st[primes[j]*i] = true;
            if(i % primes[j] == 0)
            {
                phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
            phi[primes[j]*i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
    
    LL res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)  res += phi[i];
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    cout << get_eulers(n) << endl;
    return 0;
}