用高斯消元法解异或方程组

异或方程组就是形如这个样子的方程组：

M[0][0]x[0]^M[0][1]x[1]^…^M[0][N-1]x[N-1]=B[0]
M[1][0]x[0]^M[1][1]x[1]^…^M[1][N-1]x[N-1]=B[1]
…
M[N-1][0]x[0]^M[N-1][1]x[1]^…^M[N-1][N-1]x[N-1]=B[N-1]

其中“^”表示异或(XOR, exclusive or)，M[i][j]表示第i个式子中x[j]的系数，是1或者0。B[i]是第i个方程右端的常数，是1或者0。

解这种方程可以套用高斯消元法，只须将原来的加减操作替换成异或操作就可以了，两个方程的左边异或之后，它们的公共项就没有了。

具体的操作方法是这样的：对于k=0..N-1，找到一个M[i][k]不为0的行i，把它与第k行交换，用第k行去异或下面所有M[i][j]不为0的行i，消去它们的第k个系数，这样就将原矩阵化成了上三角矩阵；最后一行只有一个未知数，这个未知数就已经求出来了，用它跟上面所有含有这个未知数的方程异或，就小觑了所有的着个未知数，此时倒数第二行也只有一个未知数，它就被求出来了，用这样的方法可以自下而上求出所有未知数。

有一个5*6的灯泡构成的矩阵，灯的开关规则是这样：当改变某盏灯的，状态时，这盏灯的上下左右相邻的灯的状态也随之改变。例如：  
  0   1   1   0   1   0  
  1   0   0   1   1   1  
  0   0   1   0   0   1  
  1   0   0   1   0   1  
  0   1   1   1   0   0  
   
  当按下2行3列的开关时，状态变为：  
  0   1   0   0   1   0  
  1   1   1   0   1   1  
  0   0   0   0   0   1  
  1   0   0   1   0   1  
  0   1   1   1   0   0  
   
  游戏的目的是对于任意给定的亮灭初始态，通过一系列动作关闭所有的灯。  
  可以注意到的是：  
  1.矩阵的状态与按开关的顺序无关  
  2.如果某个开关按下了两次，那么就相当于取消了第一次的操作，也就是说没有开关需要按超过1次  
   
  现在问题是：对于给定的初始状态，求出需要按哪些开关来完成游戏  
   
  原题在这里  
  http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1222  

 把上面的矩阵看成一个m*n的向量X=(x1,x2,...,x(m*n))  
  对于位置k上的开关，它将变化最多5个位置的开关，对应一个向量  
          C(k)=(0,0,...,1,0,....,1,...,0)  
  其中开关状态改变的位置为1，开关状态不改变的位置为0  
  对于初始向量X=(x1,x2,...,x(m*n)),使用了开关C(k)后，状态会变成  
  X+C(k)   (mod   2)  
   
  所以对初始向量X,我们需要选择一系列的k1,k2,...,ks使得  
  X+C(k1)+C(k2)+....+C(ks)   (mod   2)=O=(0,0,0,...,0)  
  我们可以同样构造一个0,1向量Y,使得，如果位置k出现在k1,k2,...ks中，那么Y  
  在位置k的值是1，不然是0，这样，我们就可以将上面公式写成矩阵形式  
  X+Y*C   (mod   2)=O  
  其中C=(C(1)'   C(2)'     ....   C(m*n)')'  
  也就是C是由这m*n个行向量构成的矩阵，第k行就是向量C(k)  
  最二阶域上，加和减是相同的，也就是上面的方程等价于  
  Y*C   (mod   2)=X  
  其中C,X已知，求Y.  
  由于(mod   2)运算是一个域   （关于乘除加减封闭，加减是mod   2加减，还满足结合率，交换率）  
  所以我们可以直接在二阶域上用高斯消元法求解（注意加减是mod   2的，对应计算机上的异或运算）  
  其中，如果C可逆，解是唯一的，如果C不可逆，解可能不存在，也可能不唯一。