P8783 [蓝桥杯 2022 省 B] 统计子矩阵【详解！】

不求点赞，只求耐心看完，指出您的疑惑和写的不好的地方，谢谢您。本人会及时更正感谢。希望看完后能帮助您理解算法的本质

[蓝桥杯 2022 省 B] 统计子矩阵

题目描述

给定一个 $N\times M$ 的矩阵 $A$，请你统计有多少个子矩阵 (最小 $1\times 1$, 最大 $N\times M)$ 满足子矩阵中所有数的和不超过给定的整数 $K$。

输入格式

第一行包含三个整数 $N,M$ 和 $K$。

之后 $N$ 行每行包含 $M$ 个整数, 代表矩阵 $A$。

输出格式

一个整数代表答案。

样例 #1

样例输入 #1

3 4 10
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12

样例输出 #1

19

提示

【样例说明】

满足条件的子矩阵一共有 $19$，包含:

大小为 $1\times 1$ 的有 $10$ 个。

大小为 $1\times 2$ 的有 $3$ 个。 大小为 $1\times 3$ 的有 $2$ 个。

大小为 $1\times 4$ 的有 $1$ 个。

大小为 $2\times 1$ 的有 $3$ 个。

【评测用例规模与约定】

对于 $30\%$ 的数据, $N,M\le 20$.

对于 $70\%$ 的数据, $N,M\le 100$.

对于 $100\%$ 的数据, $1\le N,M\le 500,0\le A_{ij}\le 1000,1\le K\le 2.5\times 10^8$.

蓝桥杯 2022 省赛 B 组 F 题。

一、本题考察算法：四重循环二维前缀和 – 三重循环二维前缀和

思路：超时

1. 预处理出来矩阵的二维平面前缀和。
2. 枚举左上角和右下角所确定的所有矩阵。

代码：

#include

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 5e2 + 10;
LL s[N][N]; //前缀和矩阵
int n, m, k;

int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    
    for (int i=1; i <= n;  i++)
    {
        for (int j=1; j <= m; j ++)
        {
            cin >> s[i][j];
            s[i][j] += s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1];
        }
    }
    int cnt=0;
    for (int x1=1; x1 <= n; x1 ++)
    {
        for (int y1=1; y1 <= m; y1 ++)
        {
            for (int x2=x1; x2 <= n; x2 ++)
            {
                for (int y2=y1; y2 <= m; y2 ++)
                {
                    int sum = s[x2][y2] - s[x2][y1-1] - s[x1-1][y2] + s[x1-1][y1-1];
                    if (sum <= k)
                        cnt ++;
                }
            }
        }
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

二、三重循环的二维前缀和：

思路：

1. 预处理出来每一列的前缀和。
2. 固定上下边界，枚举上下边界之间的所有子矩阵！
   类似于一个滑块一样的东西啊，在固定的轨道上滑行，不过滑块的头和尾巴不是同时滑行的，其实就是滑动窗口的感觉，起初的时候滑动窗口的右端点不断向前滑动，滑动窗口的左指针不动，那么此时区间不断扩大，由于区间内的元素均是>0的，所以随着区间范围增大，整个区间也必然增大。但是当区间和大于K的时候，停止扩大区间应该缩小区间，那么只有使得左端点往右边移动，那么左端点之后的格子均被抛弃，所以要更新区间和！
   

代码：

#include
#include
#include

using namespace std;
typedef long long LL;
int n, m, k;    
const int N = 5e2  + 10;
int s[N][N];    //前缀和矩阵！

int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i=1; i <= n; i ++)
        for (int j=1; j <= m; j ++)
        {
            cin >> s[i][j];
            s[i][j] += s[i-1][j];//求列方向上的和更为方便！先背过这个技巧吧，能够快速地枚举所有的子矩阵
        }
    
    LL res=0;
    for (int i=1; i <= n; i ++)         //上边界
    {
        for (int j=i; j <= n; j ++)     //下边界
        {
            for (int l=1, r=1, sum=0; r <= m; r ++)
            {
                sum += s[j][r] - s[i-1][r];     //一列一列地加！
                while (sum > k)     //缩小范围！
                {
                    sum -= s[j][l] - s[i-1][l];
                    l ++;
                }
                res += r - l + 1;
            }
        }
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}