202五一杯数学建模ABC三题

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A题 血管机器人的订购与生物学习

B题 矿石加工质量控制问题

C题  火灾报警系统问题

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A题 血管机器人的订购与生物学习

随着微机电系统的发展，人类已经可以加工越来越小的机器。这些机器小到一定程度就可以放进血管开展疾病治疗，这就是血管机器人。血管机器人可以携带药物放入血管里定点治疗与血管有关的疾病，还可以充当血管清道夫，清除病毒，保持人体健康。因而，血管机器人越来越受到人们的关注。

血管机器人有多种类型，其中某医院使用的是ABLVR型号的血管机器人。这种血管机器人有两大特点：①可以组装。机器人有一个容器艇（类似于潜艇），有动力，可在血液中游动。容器艇四周安装了4个操作手，操作手类似于人，有生物大脑和机械臂，生物大脑控制着机械臂进行工作。操作手可以从容器艇上拆卸、安装、更换。②需要学习。这种血管机器人没有直接的信息复制功能，新购买的操作手在工作之前需要提前进行生物学习（训练），类似于人脑学习，需要在特定的环境中由已经学习好的操作手（熟练工）“指导”若干个生物大脑芯片空白的操作手（新手）在仿真血管中进行学习，直到“新手”能够达到“熟练工”的水平为止，时间为一周。

血管机器人在患者血管中工作时间是一周，一周后必须取出。取出后操作手拆卸下来需要进行一周的保养才能再次开展工作，如没有安排工作，则一直需要保养。新购买的容器艇需要经过一周的检查调试后才可以投入使用，使用结束后容器艇并不必须要保养，可以连续使用，但如果不使用也需要保养。假定购买的容器艇和操作手在每周开始时到货并立即安排检查调试和生物学习（训练）。相关成本数据见附件1。附件2是第1-104周该医院所需要的血管机器人数量。

该医院从第1周开始开展血管机器人治疗业务，并假定开始前已经有了13个容器艇和50个熟练操作手。请建立数学模型，回答下列问题。

问题1：在每周开始时，医院可以购买到操作手和容器艇。每个熟练操作手可以作为指导者“指导”10个购买的新操作手进行生物学习。如果仅仅考虑第1-8周，请问每周需要购买多少容器艇和操作手，既满足治疗又能够使运营成本达到最低？

问题2：血管机器人在患者血管中工作有风险，一旦碰上巨噬细胞，如果躲避不及，将会完全损毁。假设每周有20%的血管机器人损毁（损毁的个数按四舍五入取整），其他条件遵循问题1，通盘考虑第1-104周，请问总共需要购买多少容器艇和操作手，既满足治疗又能够使运营成本达到最低？并将相关结果填入表1。另外，将第1-8周的结果数据与问题1的第1-8周的结果数据进行对比分析。

表1：问题2相关结果数据

周次	购买的容器艇数量	购买的操作手数量	保养的操作手数量	保养的容器艇数量	参与训练的操作手数量（含“熟练工”和“新手”）	总成本 （单位：元）
第12周
第26周
第52周
第78周
第101周
第102周
第103周
第104周
1-104周（总计）

问题3：如果每名熟练操作手可以“指导”新操作手的数量调整为不超过20个，假设每周有10%的血管机器人损毁（损毁的个数按四舍五入取整），同问题2，请研究第1-104周里总共需要购买多少容器艇和操作手既满足治疗又能够使运营成本达到最低？将相关结果数据填入表2。

表2：问题3的相关结果数据

周次	购买的容器艇数量	购买的操作手数量	保养的操作手数量	保养的容器艇数量	参与训练的操作手数量（含“熟练工”和“新手”）	总成本 （单位：元）
第12周
第26周
第52周
第78周
第101周
第102周
第103周
第104周
1-104周（总计）

问题4：如果购买操作手和容器艇有优惠政策，即容器艇一次性购买量不超过5个时的单价为200元/个；容器艇一次性购买量超过5个但不超过10个时，超过5个的那部分单价为180元/个；容器艇一次性购买量超过10个时，超过10个的那部分单价为160元/个。同样，操作手一次性购买量不超过20个时的单价为100元/个；操作手一次性购买量超过20个但不超过40个时，超过20个的那部分单价为90元/个；操作手一次性购买量超过40个时，超过40个的那部分单价为80元/个。其他条件遵循问题3，则第1-104周里总共购买的容器艇和操作手将如何调整？将相关结果数据填入表3。

表3：问题4的相关结果数据

周次	购买的容器艇数量	购买的操作手数量	保养的操作手数量	保养的容器艇数量	参与训练的操作手数量（含“熟练工”和“新手”）	总成本 （单位：元）
第12周
第26周
第52周
第78周
第101周
第102周
第103周
第104周
1-104周 （总计）

问题5：预测第105-112周的血管机器人的使用需求。为了研究第105-112周的血管机器人的使用成本，在遵循问题4条件的基础上，有两种方案可以考虑。

方案1：在第1-104周最优结果的基础上，医院在第105周开始时有可能需要以每个300元的高价购买能够直接使用的容器艇和每个150元购买熟练操作手，而后续每周均按问题4中的优惠政策购买合适数量的新容器艇和新操作手，满足第105-112周的血管机器人的需求。

方案2：通盘考虑第1-112周的血管机器人的需求。

请比较两种方案的第1-112周最低运营成本的差额。

附件1 血管机器人相关成本

类别	价格（成本）
容器艇	200元/个
操作手	100元/个
操作手保养	5元/个/周
容器艇保养	10元/个/周
操作手（含“熟练工”）训练	10元/个

附件2 第1-104周血管机器人使用数量（单位：个）

第1-8周	11	5	4	7	16	6	5	7
第9-16周	13	6	5	7	12	5	4	6
第17-24周	9	5	5	11	29	21	17	20
第25-32周	27	13	9	10	16	6	5	7
第33-40周	11	5	5	6	12	7	7	10
第41-48周	15	10	9	11	15	10	10	16
第49-56周	26	21	23	36	50	45	45	49
第57-64周	57	43	40	44	52	43	42	45
第65-72周	52	41	39	41	48	35	34	35
第73-80周	42	34	36	43	55	48	54	65
第81-88周	80	70	74	85	101	89	88	90
第89-96周	100	87	88	89	104	89	89	90
第97-104周	106	96	94	99	109	99	96	102

B题 矿石加工质量控制问题

提高矿石加工质量，可以直接或间接地节约不可再生的矿物资源以及加工所需的能源，从而推动节能减排，助力“双碳”目标的实现。矿石加工是一个复杂的过程，在加工过程中，电压、水压、温度作为影响矿石加工的重要因素，直接影响着矿石产品的质量。矿石加工过程如图1所示。某生产车间对于一批原矿进行加工，相关的原矿参数见附件1和附件2。为了方便描述，假设矿石加工过程需要经过系统I和系统II两个环节，两个环节不分先后，其他条件（电压、水压等）保持不变。生产技术人员可以通过传入调温指令，调节温度来改变产品质量。其中系统I和II的温度数据见附件1和附件2。矿石加工过程为2小时整（即：在调节温度2个小时后，可检测得到该调节温度所对应的矿石产品质量的评价指标（A,B,C,D）），假设每次温度调节之后的2个小时内不会传入新的调温指令，附件1和附件2中的温度数据记录了系统的实时温度，调温指令下达后系统温度基本与调温指令设定的温度相同，但是有轻微波动。注：附件1和附件2中，原矿参数和过程数据未给出数据的具体名称，不同类型的数据，采集时间间隔不同。

图1 矿石加工过程

问题1：附件1给出了该生产车间2022-01-13至2022-01-22的生产加工数据，请应用附件1的数据，建立数学模型，给出利用系统温度预测产品质量的方法。在给定的2022-01-23原矿参数（见附件1）和系统设定温度（见表1，假设系统温度与调温指令设定的温度相同）下，给出产品质量预测结果。注意：在所给数据中，由于其他不确定因素的影响，在相同（或者相近）的系统温度下生产出来的产品质量可能有比较大的差别，在这种情况下请预测可能性最大的产品指标，并填入表1。

表1 问题1结果

时间	系统I设定温度	系统II设定温度	指标A	指标B	指标C	指标D
2022-01-23	1404.89	859.77
2022-01-23	1151.75	859.77

问题2：根据问题1的结果，利用附件1的数据，假设原矿参数和产品目标质量已知（系统温度未知），请建立数学模型，估计产品目标质量所对应的系统温度。在给定的2022-01-24原矿参数（见附件1）和目标产品质量（见表2）下，给出系统设定温度（假设调温指令设定的温度与系统温度相同）。注意，同一组产品质量可能有多种调温方法都可以得到，请给出可能性最大的系统设定温度，并填入表2。

表2 问题2结果

时间	指标A	指标B	指标C	指标D	系统I设定温度	系统II设定温度
2022-01-24	79.17	22.72	10.51	17.05
2022-01-24	80.10	23.34	11.03	13.29

问题3：过程数据是在矿石加工过程中检测得到的（见图1），可以反映原矿质量。由于同一批次（天）的原矿质量有差别，也可能造成在传入相同（或者相近）调温指令后生产出来的产品质量有差别。附件2给出了该生产车间2022-01-25至2022-04-07的生产加工数据及过程数据。表3给出了矿石产品的销售条件，满足销售条件的产品视为合格产品，否则视为不合格产品，假设每单位时间生产的产品数量相同，合格率=合格产品数/产品总数。请建立数学模型，给出指定系统设定温度，预测矿石产品合格率的方法。在给定的2022-04-08和2022-04-09原矿参数、过程数据（见附件2）和系统设定温度（见表4，假设系统温度与调温指令设定的温度相同）下，给出合格率预测结果，填入表4，并建立数学模型对给出的合格率的准确性进行评价。

表3 产品销售条件

指标	指标A	指标B	指标C	指标D
销售条件	77.78 - 80.33	<24.15	<17.15	<15.62

表4 问题3结果

时间	系统I设定温度	系统II设定温度	合格率
2022-04-08	341.40	665.04
2022-04-09	1010.32	874.47

问题4：根据问题3中的结果，利用附件2的数据，建立数学模型分析在指定合格率的条件下，如何设定系统温度的方法，并完成以下任务：（1）适当的敏感性分析；（2）对结果准确性的分析；（3）判断能否达到表5中给出的2022-04-10和2022-04-11产品的合格率要求（原矿参数和过程数据见附件2），如果可以达到，给出系统设定温度（假设系统温度与调温指令设定的温度相同），并将结果填入表5。

表5 问题4结果

时间	合格率	能否达到	系统I设定温度	系统II设定温度
2022-04-10	80%
2022-04-11	99%

C题  火灾报警系统问题

二十世纪90年代以来，我国火灾探测报警产业化发展非常迅猛，从事火灾探测报警产品生产的企业已超过100家，年产值达几十亿元，已经成为我国高新技术产业的一个组成部分，国外产品也大量进入我国市场。我国每年建筑中新安装的火灾探测器约200万只。

火灾探测器的功能就是捕捉特定的火灾信号，将其转换为电信号传输至火灾报警控制器依据报警算法进行判定，当探测到的信号数值或者变化特征超过阈值时即被判定为火灾。因此探测器的灵敏度决定了对火灾特征响应的灵敏程度，但较高的灵敏度会导致报警可靠性的降低，而较高的可靠性则需要牺牲探测器的灵敏度。因此，探测器的灵敏度和可靠性成为探测器需要平衡考虑的关键参数 (有关火灾报警系统的其他相关背景资料见附件4：火灾报警系统背景资料）。

图1为全国2021年各月份的火灾次数及变化趋势，假设我国某城市一年内的火灾起数的变化趋势与全国2021年各月份的火灾次数及变化趋势相似，该城市在（6月1日至6月18日）18天内共接到257179条火灾报警系统的报警信息（其中包含误动作所导致的误报警），附件1是该城市6月1日至6月18日统计的火灾报警数据；该城市共有18个消防大队，管辖面积如表1所示；除了误动作以外，该城市中还有一部分火灾报警系统存在故障问题如附件2所示。假设正常工作的火灾探测器检测到火灾时一定会报警，忽略时间的影响，当某一建筑内多个火灾探测器的机号与回路编号相同时且这些探测器均发出火灾报警信号，则认为是同一起火灾事故。

图1 2021年全国各月份火灾起数(左)和亡人数量(右)

表1 各消防大队管辖面积

大队名称	管辖面积(平方公里)
A大队	1712
B大队	692
C大队	1100
D大队	1631
E大队	412
F大队	1524
G大队	122
H大队	532
I大队	96
J大队	58
K大队	1831
L大队	1561
M大队	1997
N大队	246
O大队	483
P大队	24
Q大队	2151
R大队	13

在探测器安装得当，符合标准的假设下，讨论如下问题：

问题1：请根据文中叙述及附件1，确定该城市6月1日至6月18日的真实火灾起数，并查阅参考文献，结合附件2、图1(附件2中部分部件无需分析，请依据附件1的部件名称先对附件2的部件进行模型筛选)，通过建立模型对附件1中的各类型部件进行分析，利用可靠性和故障率对各类型部件进行评价，帮助政府选取更加可靠的火灾探测器类型。

问题2：通过阅读参考文献，结合问题1得到的数据结论，选择合适参数建立区域报警部件类型智能研判模型，当某大队辖区内某类型部件发出报警信息时，能够较好判断是否属于误报，提高报警准确率，并对附件3中各大队不同部件发出的报警信号进行真实性评价，确定附件3中各报警信号是真实火灾的概率。

问题3：根据问题1所获得的各辖区火灾数据以及问题2的结果，结合表1分析该市各消防大队的综合管理水平，并将综合管理水平最低的三个辖区的技术指标（如辖区火灾发生频率、部件故障率、部件可靠性等）进行量化，提出改进方案。

问题4：根据有关文献和问题1至问题3模型分析的结果，请有针对的提出火灾报警系统各部件管理维护的意见建议。