可数学被老林剥去了看上去困难重重的外衣,变成了一种纯粹朴实、运用创造性思维解决问题、并与人类文明演进息息相关的过程。
老林不断在讲故事,从计数的诞生讲到了计算的诞生,从十进制的加减法讲到了乘除法,每次,他都很简单地摆弄眼前的利用眼前的黄豆,还原抽象数字背后的具体。
最后,老林说:“其实,数学诞生之初,和无数地摆在人类面前的现实问题息息相关。没有那么多高阶工具的,就像算要数黄豆没加法,分东西没除法,就像人类面前永远都有那么一条条浩荡长河,阻碍前行,过不去了怎么办,那很简单——搭桥。于是数字出现了、算术出现了,代数、几何都出现了……”
“奥数。”老林眨了眨眼,对他说,“以下是我个人的看法——奥数,是让你们面对困难时,放弃那些高阶工具,试着像无数先贤那样,用突破性的思维解决问题,就像拿着小木剑斗恶龙的勇士,那么每解出一道题目过程,就足够了不起。”
“而更有趣的是,或许有一天,当你们在数学领域里走出一段距离后,会看到属于你们自己的长河,那时,可能就需要你拿出自己的斧子,伐木造桥,做第一个造出那顶桥、走过那条河的人。而所有的这些训练,都会让你的这里。”老林指了指脑袋,又指了指手,“更有能力,指挥这里。”
老林说到这里,本应停下来,但他还是说:“但请不要把最后的‘或许有一天’,当做你们学奥数的意义,那样会失去很多乐趣,毕竟现在数学家研究数学,主要是因为……”
学习本身就是足够幸福的过程,享受知识的同时,不要畏惧挑战。而所谓的考试,本质是由整个社会制定的残酷淘汰标准,它可以要求很多人,但如果你不在意,那它也没那么重要。”
“光量可不够。”老林不置可否,笑:“昨天我们已经说过,数学这门学科是从无到有的过程,但不光是数学,物理、化学、等等等等自然科学,它们都有很漫长的学科构建过程,请注意,在当时的情况是,所有数学相关知识,都是下相对零散的。但这时,有一个人,用一种方式,将所有零散的认识组合起来,为数学建立一种严的演绎论证体系,开人类文明之先河,并为后世所有学科建立树立典范,所有的这一切,都在一本书中集中体现,叫《几何原本》。”
“欧几里得!”花卷抢答。
“对,请记住这个名字和这本书。”老林说,“在某种意义上,人类现代的科学文明,是建立在这本书的逻辑系统上的,它最精妙处在它的演绎方法、和严密的论证过程。”老林撇撇嘴,“如果学数学的人告诉你们别看《几何原本》,因为它上面讲的几何对现代数学来说已经过时,那一定是因为他小时候没读过这本书,我们要同情他。”
在她小的时候,她也曾经坐在靠窗的小书桌前,听老林热情洋溢地给她讲《几何原本》。热情本就是最能感染人的东西,那是她第一次体会到在数学思维的严密和美妙,那种得证瞬间的豁然开朗和激动人心,她至今仍能感受到。
“简单和美妙之间,并没有矛盾。”
就算是最基础的勾股定理,仔细研究,却发现它不仅和边长有关,也和面积有关,甚至还蕴含乘法分配律。
背下的公式定理只能算是背下的,而自己亲自证明过的东西却是自己的。原本枯燥的知识,越是深入下去,反而越有趣。
甚至有时你仿佛也站在历史长河中,能感受到先贤智慧闪光瞬间的那种兴奋和愉悦。
《几何原本》的证明题, 对于见惯复杂平面几何题的奥数生来说, 确实有些很简单, 但就像老林说的,它本身最精妙处不在于证明,而在于从公理在一步步论证出结论的过程, 对训练逻辑思维非常有好处。
“甚至连爱因斯坦都说\如果欧几里得未激发你少年时代的科学热情,那你肯定不是天才科学家
裴之的笔迹和语速一样,总保持一种很清晰平静的状态,他会耐心把过程一步步写出,最后还会问一句:“我讲清楚了吗?”
陆志浩本人捧着试卷,和小解老师大眼瞪小眼了一会儿。
解然抚摸着他胖乎乎的脸,问:“你昨天吃什么?”
“老师,您问早饭还是午饭还是……”
“请坐吧,考得不错。”解然一本正经地说,然后逃了。
“智力因素会不会影响学习成绩?”老林看着姚小甜,自问自答,“会”
“下一句是不是以大部分人的努力程度来说轮不到拼天赋?”林朝夕边吃酸溜溜的番茄边嘀咕,口水都滴下来。
“不是。”
正当林朝夕以为,老林又要高谈阔论人类智力和数学成绩之间的关系时,只听老林说:“事实上是,初等数学随便学学,傻子都会。”
林朝夕:“……”
爸爸你这个打击面有点广。
也是在那瞬间,林朝夕很清楚知道,老林很高兴,比起在公园碌碌度日,他更喜欢和孩子们在一起,也更喜欢再次接近数学的感觉。
老林笑了一会儿,才缓缓开口:“19世纪末的时候,意大利数学家皮亚诺提出5条公理定义自然数,我背给你们听一下,一、……”
一二三四五,他很帅气地背完五条公理,所有孩子都以为自己听了外语,根本不知道他在说什么。
看这一张张完全懵了小脸,老林问:“知道什么是自然数了吗?”
“不知道!”孩子们整齐划一地摇头。
“因为背出这五句话和懂得它是什么之间,有天壤之别。”
学生们用力地点头:“所以背书不重要!”
老林笑:“相反,我重点是,懂得很更重要。所以,现在让我们好好来看一看,什么叫自然数……”
老林指着路边的树,开始给孩子们讲,最最基础的,自然数是什么。
“一定会有很多人告诉你们,数学很美很美,他们在生活中有广泛应用,可我们低头一看,什么呀,明明都是很无聊的题目。”
“对啊对啊!”孩子们应和道。
老林:“所以说,大人都是骗你们的,你们不要信他们。”
林朝夕:“……”
“还是那句话,大部分数学家研究数学,是因为……”
“他们很无聊~”花卷很配合地回答。
“对,但如果没有那么多很无聊的人,我们现在的世界,肯定不是你们看到的这样。”老林坐直身子,精神奕奕。
孩子们一个一个在说自己的观点,宿舍里响起此起彼伏的声音。老林只是耐心倾听,对每个孩子的回答都点头赞许,并不批评。光这个话题,他们就讨论了小半个小时。
从最浅显的质数题目入手,老林深入浅出地给孩子们讲解了不同种类的质数题目,又从质数拓展到了数论相关,仿佛因为刚才的讨论,数论这种纯粹数学的无聊玩意,也瞬间变得重要起来。
不知过了多久,突然有孩子想到什么,问:“那质数的第二个意义呢?”
老林笑了,仿佛等他们问这个问题等了很久:“关于质数,数学家无聊地钻研了两千多年,你可以想象,两千多年来,某些特别无聊的数学家们起早贪黑,找质数的分布规律、计算一定范围内的质数有多少个……”
“那得算多久啊。”
“我也不知道算了多久,可能是某些人的一生。”老林笑,“总之,他们是和这些无聊的数字死磕到底,两千多年来,数学家们一直在做这种仿佛一点也找不出现实用处的的事情。”
孩子们都沉默下来,静静地看着老林。
“你问有什么意义,我想他们也不知道有什么意义,他们纯粹在找点乐子。”
“穷极一生,找点乐子。”老林笑了,“直到两千多年后,人类进入信息化时代,质数才显露出一点它的作用来,它被应用于公开密钥密码体系,它决定了现在的信息安全。”
林朝夕看着父亲在等下微笑的面容,她其实知道,老林是想说——不用去找那么多意义,数学研究本身,就是意义所在。
可他没有这么说,他大概是希望孩子们自己去体会这些。
在心中种下一颗小种子,或许某天,它会长成参天大树。
老林大概是这么希望的。
裴之的话时极具技巧的结尾,看上去像个孩子随意插嘴,但也同时他点出“沈”姓和“林”姓的区别,聪明的大人很容易发现里面的问题。
吃饭要有规矩、说话要有规矩,总之处处都要有规矩,倒也不是说不好,但别说是活泼好动的林爱民,就算她骨子里是个大人,吃到最后都觉得凳子上有针。
“应该是吧?”裴之倒也非常平静,如实回答,“她说对不起,我问她为什么要对不起?”
“对啊,你为什么要说对不起?”老林也同样抬头问。
林朝夕站在风里,说不出话。
“这既不是你的错,更不是他的错,不用觉得抱歉。”老林说,“而且死亡有很多含义,有时遗憾,有时是解脱。”
闻言,裴之认真地点头,像非常赞同老林的观点。
裴之自始至终都没有眼眶红过,像在讲别人的事,又像因为这件事他已经想过很多遍,完全理清楚条理,所以再也没什么好伤心的。
“当然一个人的时候好。”老林一脸你到底哪来的错觉的表情。
“这样啊。”林朝夕竟有种松口气的感觉。
“但有孩子,我大概会更有活着的感觉。”
“什么叫活着的感觉?”
“就是有牵挂的东西。”
“你那声‘凑合’,很明显有情绪问题,别忘了,你的实习报告,可是要他签字的。”冯老师说。
“我明白,谢谢您。”
“想愉快就不要走竞赛这条路!”张叔平愈加严厉,“真正的数学研究到后期都是艰深困苦,前进一小步都要花上很多人一辈子的工夫,那不是阳春白雪,是浑浊的泥潭,走一步都费劲,那么多人、那么多孩子,你确定要把他们都拖下这摊泥水?”
“我……”
“你很聪明。”张叔平问她,“你以为,你最讨厌的那些东西,为什么我要设置那些?小组淘汰赛、扛东西上楼、还有可能会发生的那么多环节?”
“大家都需要借口,孩子需要,父母需要,都是借口。”张叔平这样说道。
林朝夕说不清内心是什么感觉,那瞬间,仿佛有人打开强光,照进她心中最最阴暗的角落,一切无所遁形。
她甚至觉得,张叔平只是某一部分夸张化了的她,把她的真实想法用一种直白残酷的想法明确讲了出来。
在那个世界,她就是找了某些借口而放弃数学,因为她深知道路的艰难和鸿沟的难越。
她深深望着面前的中年人,看着他的地中海,和微驼的背。
现在情况就有些可笑。
她之前不是没有想过,回去之后要抛下一切去念数学,她也觉得自己可以做到。
可她真的不会再找借口吗,太难了、太累了、她基础太差了……甚至是很简单的,她觉得自己做不到了……
只要想放弃,人总能找到借口去支持放弃的理由。
是啊借口,人太需要借口了。
林朝夕哽咽了,好像全世界都变得漆黑一片,只有她心中写满软弱、怯懦、逃避的那个角落还亮着。
再来一次,她还是她。
不会变的。
“所以,您的意思是。”她问,“跟不上的、想放弃的,就让他们放弃吧?”
“因为他们总会放弃,早晚而已。”张叔平说。
林朝夕再没有说话,她现在,好像还是没有办法说服自己。
回到自己房间, 林朝夕靠着房门坐下来。
这大概是影视剧中许多主人公都会选择的姿势, 以前她以为,那样纯粹是为了好看。现在才知道, 人到了某些时候,第一反应是坐下来, 因为实在走不动了。
她在袖管上蹭了蹭脸,把眼泪擦干,但视线还是湿漉漉的。
延伸直房间尽头的木地板, 敞开的阳台, 飘荡的窗帘,还有更远处低沉的夜空, 那是个很大的世界,也同样小得可以。
直到现在,她都想让自己冷静下来,仔细思考张副校长与她谈话中的漏洞, 冲出去给予狠狠反击。
像理想中会出现的剧情, 勇者斩杀恶龙, 小镇重获平静, 英雄荣归故里。
但她没办法做到, 因为她满脑子都是他的那些话,像空旷山谷里的吼声, 或者崖边浓如墨汁的暴雨, 在脑海中隆隆作响, 反反复复, 把她从头到尾浇透。
事实上,听得越久,她就越觉得那些话似曾相识。她好像用另外一种方式,在陆志浩最低落时,对他说过完全相反的内容。
大致来说是——无论如何,别放弃。
可凶残的反鸡汤主义者却说,想放弃的人总会找到借口放弃,因为放弃才是他真正想要的。
逻辑堪称完美。
月光从窗外照进来,门边有她的小团影子。
虽然她很想指责张叔平,但事实证明,张叔平说的,才是她曾经历过的现实。
然而因为错过了一次机会,他就一直在犹豫,等到现在天都亮了,他才发现自己浪费了一整晚时间。
可他也不是裴之,他能做什么呢,他完全不知道自己能做什么。
她以后或许会因困难退缩,或许会找借口来开脱,她甚至可能注定无法成为自己梦寐以求的那种人,像裴之那样的人。
但那瞬间,她明明身体沉重、腿有千斤,内心却忽然轻松下来
她翻过身握住门把。
既然如此,那就简单一点,去他妈的以后,这次先爬起来再说。
她没再拨一遍电话,因为尊严不允许。
“太难了。”林朝夕吸了吸鼻子,“说陆志浩的时候简单,自己做起来就难的要命。借口包装得太完美了,比奥特曼还吸引人,香香甜甜,所以我觉得张副校长说得真的很对,这个人怎么这么讨厌。”林朝夕咬了口面包,说,“但我更讨厌自己,老容易中计,我这么怂,说不定以后还会继续中计。”
“嗯,然后呢?”裴之问。
“天才兄,现在不该是你给我灌鸡汤的时候吗?”林朝夕扭头,“告诉我在钻牛角尖,让我别想那么多,走就走了,没什么大不了的……”
“你如果想听,我可以说。”裴之已经开始复述,“林朝夕,你别想那么多……”
“别别。”她赶忙打断他,做了个求求你的动作。
裴之适时收口,问:“那么接下来,你要怎么办?”
“我也不知道啊。”林朝夕说,“最难的是永远都做出正确选择,不过这次我决定,什么难办,办什么!”
她说完,转头看裴之,用期望的眼神,希冀对方给点鼓励和打call什么的。
然而没有。
“我是摩羯。”裴之却说了一件几乎完全不相干的事情。
迎着朝阳,林朝夕愣了会儿,随后笑了起来。
摩羯嘛,从来不达目的誓不罢休。
所以,不用问了。
张叔平的思考到这里就点到为止,像他这样的人,并不会因为一些什么外的努力坚持不懈而感动什么。
如果你见过无数哭着倒下的孩子,努力爬半天也只能爬到别人起跑线的学生,也会让自己努力保持这种清晰认知。
不然早疯了,张叔平自嘲似地想。
“来之前,我一直在想要好好和你说话,但我现在真的很讨厌你。因为的起跑线或许不同,但只要尽力,哪怕只尽力一次,对于我们这种人来说,都是非常非常了不起的事情,你却从骨子里不认可这种努力!”
张叔平的身体终于完全转过来,对着她:“是什么让你认为,你用尽全部勇气冲上来对我赌咒发誓,我就会同意你说的东西?”
他语气中带着不可思议:“我不是宠爱你的家长,会看着一个哭哭啼啼竭尽全力的小女孩心软,我为什么要给你证明的机会?”
“我想证明,您是错的。”她答,“淘汰制就是为了选拔更优秀的学生,所以我觉得和放弃不放弃没关系,这主要看成绩。如果方法得当,普通学生变成了更优秀的学生,那您就是错了。”她说。
张叔平敛眉深思片刻,然而缓缓开口:“章亮。”
林朝夕瞪大眼睛,不明所以。
“不是更优秀,而是最优秀。”
就在她石化的时间里,老林已经走到张副校长面前。
老林站定抬手,姿态自然,张叔平以为他要握手,下意识也举起手,但老林的手一秒转向,往口袋里摸出盒烟,抽一支咬住。
张副校长的手停在半空,脸色很难看。
张叔平:“这位先生,教学楼内部,严禁抽烟。”
“哦,我叼着。”老林笑,“显得有气势点。”
他说完,又举起手,五指伸开,放到张叔平胸前。张副校长的手已经放下,一时间没有再抬的意愿,只皱眉不语。
老林:“这位老师,握个手吧,基本礼仪。”
“问问吧,不过挺有趣的。人生嘛,哪有几次真正奋力拼搏的机会,错过多可惜。”
今天阳光灿烂,湖风舒畅,老林说的话更比湖风爽飒。
勇气到来于突然而至的瞬间,不需要任何铺垫和心理建设。
对林朝夕来说,她不知道为什么选择这样的时间和地点,但既然决定什么难办办什么,那么就算只有一天也好,成为有勇气的人,不找借口逃避任何问题。
和张叔平甚至和数学本身都没有关系, 不在于那些特定时刻, 而在于人生的时时刻刻,成为有勇气的人, 不再犹豫彷徨。
“可能是因为年纪大了,会突然没勇气。”老林回头看她,停了下来:“抱歉,我刚才的反应不像个大人。”
“有事实,就可以不需要理由。”
“孩子有秘密。”老林说,“大人也好不了多少。”
那时老林拉着她的手,很认真告诉她,妈妈放弃了抚养权,每个人都有自己的人生和情非得已的原因,希望她不要恨妈妈。
其实哪有恨意,从未感受过母爱,谈不上失去,也就更谈不上恨了。
她想,其实孩子果然比成人更有勇气,因为他们渴望什么东西时的情感更加纯粹。
想要什么就是哭着闹着满地打滚都一定要得到的,这就是孩子。
“还好吧,多做点题问题不大。”
“要做很多题吗?”孩子们问。
“不然呢,光靠念力能成绩飞速提升?”
“对,靠我们的努力才能。”安贝贝喊。
“就算最简单的题目, 也分析清楚,未知量是什么?已知数据是什么?未知量通过什么条件与已知数据联系?”
和曾经他们习惯的做题方式不同, 老林让他们进行习题训练的要求不太一样, 不求正确率、速度, 而要求思路。
在解题前写出求解思路,在追求速度的训练中,这就是一个慢下来的过程。
很多题目对林朝夕来说太基础,但既然老林要求每个人都做,她也没把自己排除在外。
从数论到几何,从求解到证明……
“全部都做了?”她悄声问
“是啊,反正没事做。”
反正没事做……
其实就算是小学生也知道,想在短时间内提高成绩,除了大量刷题外,没有任何捷径。
而对数学来说,大量练习,反复巩固,是熟练运用工具的最好方法。
从那天说想考85分之后,他非常很安静,默默向目标努力,这种沉默理所当然也感染了其他人。
其实呆久了你会发现,在哪读书都一样,只要沉浸其中,环境根本影响不了什么。
平均成绩会计入总平均分,就算是0.5分的差距都可能决定去留
其实也没什么方法,我们学习比较认真而已。
但很可惜,第一小组的均分是85,比他们高一截。而80到85这5分的提升,远比70到80要困难许多,
中午吃饭时,他们照例在食堂总结考试心得。
“那你们这么自我反思,也一样欠打。”老林说,“为什么不看到进步,而执拗于失误?自己不开心,还给别人造成很大心理压力。”
“因……因为……”
“因为我们从小接受的教育就是,错题都是不应该,要认真反思。”裴之说。
“对的题目就不需要反思了吗?”老林问,“为什么会做出来,究竟哪个思路最巧妙,成功的经验也非常重要。”
其实一是心态,二是态度,排第三位的,才是能力。
每个人都埋头做自己的事情。基础不扎实的做基础题,要冲高分的刷难题,连裴之都按老林要求的,在用多种方法尝试对所有公式定理进行证明。
抓紧时间却不代表他们很紧张。
午饭时,老林拿出一道很有趣的题目,给大家玩。
那道题大致是说——
有只熊从P点出发,向正南走一英里后改变方向往整栋走一英里,最后左转,往整备走一英里,此时正好到出发点P,求问熊的颜色。
“什么颜色?熊能有几种颜色?”
“黑、白、棕?”
“别忘了还有大熊猫?”
“但好像只有北极比较特殊,因为北极熊是白色的?”
“而且普通地方,怎么可能用这种走发回到原地,所以这么阴险的题目,一定是在问P点在不在北极?”
“还是算算?”
“算算就算算。”
孩子们的讨论声此起彼伏,不一会儿又拿出笔画了起来。
最后大家群策群力,发现老林根本在晃点他们。
P有两种情况,可能在北极,同时也可能是南极附近的一个点。
“南极有熊吗,林老师你诓我们!”
“让你们了解人心险恶啊。”老林笑。
难度分布均匀,考点明确,能很好区分出能力水平不同的学生,简单题一眼差不多能知道答案,而最难的那道题,她一时间也没有把握。
这是份非常扎实的考卷,林朝夕心里暗暗评价。
但这时候回忆答案毫无用处,之前能依靠成人的经验优势,可面对这道实打实考验能力及智力的试题,任何前期优势都不复存在,她和所有学生都在同一起跑线上,除了竭尽全力解答,没有任何捷径。
林朝夕将注意力完全放在题目中,再次拿起笔。回忆老林曾多次强调的思路问题,她一步步在纸写出想法,然后开始尝试。
一种探索不行再换另一种,整张稿纸写满,她开始在试卷后打草稿。时间一分一秒过去,她完全沉浸其中,甚至连老师提醒考试结束还有15分钟的声音也没有听见。
但碰壁、碰壁、还是碰壁,像横亘山谷的,她杠去最后一个解题方向,发现似乎除了暴力破解外,她找不到任何正确思路。
还有10分钟考试就将结束。但走这条路,10分钟内她可能只尝试很小的方案,她需要一点耐心,以及运气。
——这世界上任何事情都有可能发生在任何人身上,没什么大不了。
林朝夕深深吸了口气,没由来想起这句话,开始动笔。
好像从没这么努力过,也从没这么不想输过。
教了你们这么多天,我好像又看到那些曾经熟悉后来淡忘但实际上、非常非常美妙的东西。我也说不清那是什么,但非要总结一下,我认为那是在学习数学过程中,你们所展露出的天赋、努力、以及决心……”
“说起来可能有些肉麻,但我希望,为天赋和毅力,为智慧的偶然闪光和艰苦卓绝的努力,为你们自己鼓鼓掌吧……”
一开始,孩子们不了解他在说什么,还感到茫然,但渐渐的,大概是回忆起自己每天的学习,回忆起和困难搏斗的日日夜夜,回忆起解题瞬间的狂喜感觉。
他们已经努力了,结果也是好的,是可以问心无愧地冲喜欢或者不喜欢他们的人大喊!
努力过后就有好结果,大概是或者热血漫画里才有玩意儿,真实世界总是不好不坏,却不一定会带给你最想要的结局。
这就结束了吗?
林朝夕很不确定。
脑海中闪回过无数片段,她非常清醒,她最清楚的就是张叔平说的那句话,因为他们总会放弃,早晚而已。
但他们没找借口、更没有放弃,他们已经赢了,只是那该死的,0.5分都不到的差距……
林朝夕握紧拳头,是要离开了吗,差生反超最优等生,这样的离开已经足够光荣,但就这样了吗?
所有人都已经竭尽全力。
但她真的已经竭尽全力了吗?
林朝夕抬头看着天花板,看着比天花板更高更高的地方。
最难的就是这样的时刻,所有预兆都在告诉你,已经可以了,离开吧放弃吧,无谓的坚持毫无意义,甚至连你自己不知道究竟还在坚持什么。
但她还在爬楼,眼前漫无目的的楼梯都没有尽头,但这不对,她仍觉得遗憾,她仍为所有人遗憾。
这不是她想要的,她还不想放弃。
人对人如是,人对数学也如是。
人类世界的一切努力,本来就是在不断不断搬开那座山。
不过按照老林同志的赛前动员的说法, 我们是宽大的组织, 要给予极丨端分子一定的争取宽大处理的机会。数学大概就是这样的玩意儿。
虽然很多人讨厌,可一定不会讨厌数学学得好的人,敬而远之嘛,敬还是排最前的。