补码一位乘法（Booth算法）和补码二位乘法详解

A.D. Booth提出了一种算法：相乘二数用补码表示，它们的符号位与数值为一起参与乘法运算的过程，直接得出用补码表示的乘法结果，且正数和负数同等对待。这种算法被称之为布斯算法。
下面讨论的都是带有符号位的数字。

补码一位乘法

补码乘法规则如下：

1. 乘数的最低位增加一辅助位y_n+1 = 0，下标n是从0开始，而不是从1开始。
2. 判断y_n-i y_n-i+1的值，决定是“+X”或者“-X",或仅右移一位，得部分积。
3. 重复第二步，直到最高位参见操作（y₁-y₀）* X，但不做位移，结果得[X*Y]_补

yn-i	yn-i+1
1	0	+[-X]补
0	1	+[X]补
0	0	直接右移
1	1	直接右移

下面举一个例子：

• 已知 X=13，Y=-10，用布斯乘法求[X*Y]_补
  解：求得[X]_补=01101，[Y]_补=10110，[-X]_补=10011，假设一个P初始化全为0，位数为两位符号位和四位有效位。
  
  所以布斯算法的算法过程为n+1次的”判断→加减→右移“的循环，右移的次数为n次。

补码二位乘法

补码二位乘法的运算过程与布斯算法是相似的。其区别知识判断三位一组，加减运算+[X]_补，+2[X]_补，+2[-X]_补，+[-X]_补一共四种情况。每次部分积和乘数一般共同右移两位。

• 设乘数[Y]_补=y₀y₁…y_n
  1.当n为偶数时，乘法运算过程中的总循环次数为n/2+1。最后一次不右移，因为最后一次是仅仅对符号位的运算。
  2.当n为奇数时，乘法运算过程中的总循环次数为(n+1)/2。最后一次右移一位，因为最后一次是对符号位和最高数值位的运算，符号位的原酸不需要右移。

yn-i-1	yn-i	yn-i+1	加减规则
0	0	0	0
0	0	1	+[X]补
0	1	0	+[X]补
0	1	1	+2[X]补
1	0	0	+2[-X]补
1	0	1	+[-X]补
1	1	0	+[-X]补
1	1	1	0

下面举个例子：
已知[X]_补=00011，[Y]_补=11010，则[-X]_补=11101。用补码二位乘法计算[XY]_补。
解：P的位数为三位符号位和四位有效位。

布斯算法的硬件实现