代码随想录算法训练营第53天 | 1143.最长公共子序列 1035.不相交的线 53. 最大子序和

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动态规划篇 —— 线性dp

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1143.最长公共子序列

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昨天做了一个最长公共子串的，它的状态只取决于 dp[i-1][j-1] + 1

这道题是最长子序列，不必连着, 但还是要相对顺序，序列嘛

这道题我也做过很多遍，一时间也是想不到它的状态转移

1.状态定义
长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

2.状态转移
如果text1[i-1] == text2[j-1]的话说明什么，说明就像子序列一样我们可以直接dp[i-1][j-1] + 1 转移过来

如果text1[i-1] != text2[j-1]不等的话, 说明我们应该从dp[i][j-1] 和dp[i-1][j]中挑一个大的转移过来，因为是序列嘛

3.base case
我们dp数组多开一位，所以多开的dp[0][0]我们赋0就行，其余的也都初始化为0

4.遍历顺序以及解的所在
正序遍历
这道题的解的所在肯定就在最后位置了，因为是子序列，不需要连着，肯定越长前面累积的子序列越长

class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
        dp = [[0] * (len(text2)+1) for _ in range(len(text1)+1)]
        for i in range(1, len(text1)+1):
            for j in range(1, len(text2)+1):
                if text1[i-1] == text2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
                else: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
        return dp[-1][-1] 

1035.不相交的线

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确实看到这道题目没啥思路，我们来逐步分析一下。

绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且直线不能相交！

直线不能相交，这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。

拿示例一A = [1,4,2], B = [1,2,4]为例，相交情况如图：

其实也就是说A和B的最长公共子序列是[1,4]，长度为2。 这个公共子序列指的是相对顺序不变（即数字4在字符串A中数字1的后面，那么数字4也应该在字符串B数字1的后面）

这么分析完之后，大家可以发现：本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！

等于说这是最长公共子序列的可视化的题

class Solution:
    def maxUncrossedLines(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        m, n = len(nums1), len(nums2)
        dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
        for i in range(1, m+1):
            for j in range(1, n+1):
                if nums1[i-1] == nums2[j-1]: dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
                else: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
        return dp[-1][-1]

53.最大子序和

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首先，滑动窗口思路的解法，我觉得这种解法其实是模拟一个滑窗的感觉, 当然肯定也是贪心

cnt我们就是一个计数，计数滑窗中的数的和，如果当前计数变成负数了，我们下一位从0开始重新累加，因为负数加上任何数都会变得更小

在这个遍历过程中动态更新res

def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
 		res = nums[0]
        cnt = 0
        for i in range(0,len(nums)):
            cnt += nums[i]
            if cnt >= res: res = cnt
            if cnt < 0: cnt = 0
        return res

动态规划解法
dp[i]来源有 dp[i-1] + nums[i], 和 nums[i]
两者挑一个大的就是dp[i]代表的值，这个就是当前位置的最大子序和，这个过程自动把上一位小于0的情况给剔除了

解的位置肯定也不一定在最后位置，毕竟是子串，在哪都有可能

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        dp = [0] * (len(nums))
        dp[0] = nums[0]
        for i in range(1, len(nums)):
            dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i])
        return max(dp)