算法笔记：KM算法（Kuhn-Munkres Algorithm）

带权二分图的最优匹配问题

算法笔记：匈牙利算法_UQI-LIUWJ的博客-CSDN博客

•  匈牙利算法的一个问题是，找到的匹配不一定是最优匹配
  • 因为算法将每个匹配对象的地位视为相同的，在这个前提下求解最大匹配
• 而很多时候，二部图连边是带权重的，在这个基础上的匹配才更贴近真实情况

1 KM算法举例

二部图的每条关系之间加入了权重

1.1 具体步骤

• 首先对每个顶点赋值，称为顶标，将左边的顶点赋值为与其相连的边的最大权重，右边的顶点赋值为0。
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• 然后开始匹配
  • 匹配的原则是：
    • 只和权重与左边分数（顶标）相同（或比顶标大）的边进行匹配（边权重=左+右）
    • 若找不到边匹配，对此条路径的所有左边顶点的顶标减d，所有右边顶点的顶标加d。参数d我们在这里取值为0.1。

• 对于左1，与顶标分值相同的边先标蓝。

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•  然后是左2，与顶标分值相同的边标蓝

   

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• 然后是左3，发现与右1已经与左1配对。
  • 首先想到让左3更换匹配对象
    • 然而根据匹配原则，只有权值大于等于0.9+0=0.9（左顶标加右顶标）的边能满足要求。于是左3无法换边。
  • 那左1能不能换边呢？
    • 对于左1来说，只有权值大于等于0.8+0=0.8的边能满足要求，无法换边。
    • 此时根据KM算法，应对所有冲突的边的顶点做加减操作，令左边顶点值减0.1，右边顶点值加0.1。
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    •  再进行匹配操作，发现左3多了一条可匹配的边，因为此时左3对右2的匹配要求只需权重大于等于0.8+0即可，所以左3与右2匹配！

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• 最后进行左4的匹配，由于左4唯一的匹配对象右3已被左2匹配，发生冲突。进行一轮加减d操作，再匹配，左四还是匹配失败。两轮以后左4期望值降为0，放弃匹配左4。 

参考内容：带你入门多目标跟踪（三）匈牙利算法&KM算法 - 知乎 (zhihu.com)