信息学奥赛一本通 1264:【例9.8】合唱队形 | 1837:【04NOIP提高组】合唱队形 | OpenJudge 百练 2711 | 洛谷 P1091 [NOIP2004 提高组] 合唱队形

【题目链接】

ybt 1264:【例9.8】合唱队形
ybt 1837:【04NOIP提高组】合唱队形
OpenJudge 百练 2711:合唱队形
洛谷 P1091 [NOIP2004 提高组] 合唱队形

【题目考点】

1. 动态规划:线性动规

  • 求最长上升子序列
  • 求最长下降子序列

【解题思路】

合唱队形中,站在C位(最中间)的人应该是最高的,设选择的人为 i i i。这个人左侧的人的身高应该是一个上升序列,右侧的人的身高应该是一个下降序列,左右侧人的身高都不应该高于 t i t_i ti。为了使出列的人最少,第 i i i人左侧应该取最长上升子序列,右侧应该取最长下降子序列。
求最长上升、下降子序列时,要包括第 i i i人。这样容易取到以 i i i为结尾的最长上升子序列,以及以i为起始的最长下降子序列的长度。
我们可以尝试让每个人站C位,让他作为最高的人。如果 i i i站C位,那么剩下的人数为:以i为结尾的最长上升子序列长度+以i为起始的最长下降子序列的长度-1。因为这两个序列都包含 i i i,重复统计了 i i i,所以要减1。
出列的人数就是总人数n减去上面求出的剩下的人数
求出在每种情况下出列的人数的最小值。

1. 求最长上升子序列的方法:

  • 状态定义:dp[i]:下标从1到i,以i为结尾的最长上升子序列的长度
  • 状态转移:
    • 如果i不接在已有的上升子序列后面,那么自己成为一个子序列,这个子序列长度为1。即dp[i]=1
    • 如果i准备接在某个已有的上升子序列后面,那么遍历下标1~i-1,取到的一个下标为j,只要当前位置数值a[j]a[i]小,那么a[i]就可以接在a[j]的后面,这个子序列的长度为以j为结尾的最长上升子序列的长度加1,即dp[i] = dp[j]+1
    • 以上所有情况取最大值

2. 求最长下降子序列的方法:

  • 状态定义:dp[i]:下标从n到i,以i为起始的最长下降子序列的长度
  • 状态转移:
    • 如果i不接在已有的下降子序列前面,那么自己成为一个子序列,这个子序列长度为1。即dp[i]=1
    • 如果i准备接在某个已有的下降子序列前面,那么遍历下标n~i+1,取到的一个下标为j,只要当前位置数值a[j]a[i]小,那么a[i]就可以接在a[j]的前面,这个子序列的长度为以j为起始的最长下降子序列的长度加1,即dp[i] = dp[j]+1
    • 以上所有情况取最大值

【题解代码】

解法1:线性动规

#include
using namespace std;
#define N 3005
int main()
{
    int n, t[N], dpu[N], dpd[N], r;//dpu[i]:以i为结尾的最长上升子序列 dpd[i]:以i为起始的最长下降子序列
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> t[i];
    for(int i = 1; i <= n; ++i)//求最长上升子序列
    {
        dpu[i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; ++j)
            if(t[j] < t[i])
                dpu[i] = max(dpu[i], dpu[j]+1);
    }
    for(int i = n; i >= 1; --i)//求最长下降子序列
    {
        dpd[i] = 1;
        for(int j = n; j > i; --j)
            if(t[j] < t[i])
                dpd[i] = max(dpd[i], dpd[j]+1);
    }
    r = n;//r:去掉的人数,初值设为最大可能去掉的人数
    for(int i = 1; i <= n; ++i)//让i站C位,看看要去掉多少人
        r = min(r, n-(dpu[i]+dpd[i]-1));//剩下dpu[i]+dpd[i]-1人,去掉n-(dpu[i]+dpd[i]-1)人
    cout << r;
    return 0;
}

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