计算机组成原理——数据的表示与运算-数制与编码（课程笔记）

说明

1. 博客作为笔记备份，不定时更新
2. 参考内容为《计算机组成原理（第3版）》唐朔飞 高等教育出版社；王道考研《计算机组成原理考研复习指导2023》
3. 文中的例题摘自王道考研《计算机组成原理考研复习指导2023》，大多是我个人认为较为典型的题目以及错题的部分整理

数制与编码

1. 概述

计算机内信息采用二进制表示的原因

• 二进制只有两种状态，使用有两个稳定状态的物理器件就可以表示二进制数的每一位，制造成本低
• 二进制位1和0正好与逻辑值“真”和“假”对应，为计算机实现逻辑运算和程序中的逻辑判断提供了便利条件
• 二进制的编码和运算规则都很简单，通过逻辑门电路能方便的实现算术运算

进制转换

• 在计算机中，整数可以连续表示，小数是离散的，所以并不是每一个十进制小数都可以准确的用二进制表示，但任意一个二进制小数都可以用十进制小数表示

真值与机器数

• 带有“+”或“-”符号的数称为真值，真值是机器数所代表的实际值
• 把符号数据字化的数称为机器数，常用的有原码、补码、反码表示法

2. 定点数的编码表示

• 现代计算机通常用定点补码整数表示整数，用定点原码小数表示浮点数的尾数部分，用移码表示浮点数的阶码部分

机器数的定点表示

• 定点小数
  

  • 定点小数是纯小数，约定小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前

• 定点整数
  

  • 定点整数是纯整数，约定小数点位置在有效数值部分最低位之后

• 注：以下x均表示真值

原码

• 用机器数的最高位表示符号位，其余各位表示数的绝对值
• ★纯小数原码
  $$[x{]}_{原}=\{\begin{array}{ll}x& 1>x\ge 0\\ 1-x=1+|x|& 0\ge x>-1\end{array}$$
  • 若字长为$n+1$，则原码小数的表示范围：$-(1-2^{-n})\le x\le 1-2^{-n}$（关于原点对称）
• 纯整数原码
  $$[x{]}_{原}=\{\begin{array}{ll}0,x& 2^n>x\ge 0\\ 2^n-x=2^n+|x|& 0\ge x>-2^n\end{array}$$
  • 若字长为$n+1$，则原码整数的表示范围：$-(2^n-1)\le x\le 2^n-1$（关于原点对称）
• 真值零的原码表示有正零和负零：即$[+0{]}_{原}=00000和[-0{]}_{原}=10000$
• 原码表示的优点：与真值的对应关系简单、直观，与真值的转换简单，用原码实现乘除运算比较简便
• 缺点：0的表示不唯一，且原码加减法运算比较复杂

补码

• 纯小数补码
  $$[x{]}_{补}=\{\begin{array}{ll}x& 1>x\ge n\\ 2+x=2-|x|& 0>x\ge -1\end{array}mod2$$
  • 若字长为$n+1$，则补码的表示范围：$-1\le x\le 1-2^{-n}$（比原码多表示-1）
• ★纯整数补码
  $$[x{]}_{补}=\{\begin{array}{ll}0,x& 2^n>x\ge 0\\ 2^{n+1}+x=2^{n+1}-|x|& 0\ge x\ge -2^n\end{array}mod{2}^{n+1}$$
  • 若字长为$n+1$，则补码的表示范围：$-2^n\le x\le 2^n-1$（比原码多表示$-2^n$）
• 零的补码表示唯一，即$[+0{]}_{补}=[-0{]}_{补}=0.0000$
• 小数补码比原码多表示一个“-1”，整数补码比原码多表示一个“$-2^n$”
• 变形补码
  • 又称模4补码，双符号位的补码小数
    $$[x{]}_{补}=\{\begin{array}{ll}x& 1>x\ge 0\\ 4+x=4-|x|& 0>x\ge -1\end{array}mod4$$
  • 模4补码双符号位00表示正，11表示负，用在完成算术运算的ALU部件中
  • 将$[x{]}_{补}$的符号位和数值位一起右移并保持原符号位的值不变，可实现除法功能
• 补码与真值的转换
  • 真值$\stackrel{转换}{\to }$补码
    • 对于正数，和原码方式一样
    • 对于负数，符号位取1，其余各位由真值“各位取反，末位加1”
  • 补码$\stackrel{转换}{\to }$真值
    • 对于正数（符号位为0），与原码方式一眼
    • 对于负数（符号位为1），真值的符号为负，数值部分的各位由补码“各位取反，末位加1”

移码

• 移码常用来表示浮点数的阶码，它只能表示整数
• 移码就是在真值X上加上一个常数（偏置值），通常这个值取$2^n$，相当于X在数轴上向正方向偏移了若干单位
  • $[x{]}_{移}=2^n+x(2^n>x\ge -2^n,机器字长为n+1)$
• 移码的特点
  • 移码中零的表示唯一，$[+0{]}_{移}=2^n+0=[-0{]}_{移}=2^n-0=100\cdot \cdot \cdot 000（n个0）$
  • 一个真值的移码和补码仅相差一个符号位，$[x{]}_{补}$的符号位取反即得$[x{]}_{移}$（1表示正，0表示负，这与其他机器数的符号位取值正好相反），反之亦然
  • 移码全0时，对应真值的最小值$-2^n$；移码全1时，对应真值的最大值$2^n-1$
  • 移码保持了数据原有的大小顺序，移码大真值就大，移码小真值就小

编码总结

比较内容	原码	补码	反码	移码
对称	在数轴上对称	不对称	在数轴上对称	不对称
零的表示	不唯一，有+0和-0	唯一	不唯一，有+0和-0	唯一

3. 整数的表示

无符号整数的表示

• 默认数的符号为正
• 由于无符号数省略了一位符号位，因此在字长相同的情况下，它能表示的最大数比有符号整数能表示的大
• 比如，8位无符号整数的表示范围0~$2^8-1$，即最大数为255, 8位带符号整数的最大数为127

有符号整数的表示

• 计算机中带符号整数都用补码表示，n位带符号整数的表示范围是$-2^{n-1}$~$2^{n-1}-1$

4. 例题

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