计算机组成原理——数据的表示与运算-浮点数的表示与运算（课程笔记）

说明

1. 博客作为笔记备份，不定时更新
2. 参考内容为《计算机组成原理（第3版）》唐朔飞 高等教育出版社；王道考研《计算机组成原理考研复习指导2023》
3. 文中的例题摘自王道考研《计算机组成原理考研复习指导2023》，大多是我个人认为较为典型的题目以及错题的部分整理

浮点数的表示与运算

1. 浮点数的表示

• 浮点数表示法是指以适当的形式将比例因子表示在数据中，让小数点的位置根据需要而浮动，
• 在位数有效的情况下，既扩大了数的表示范围，又保持了数的有效精度

1.1 浮点数的表示格式

• 浮点数的表示形式
  $$N=(-1{)}^S\times M\times R^E$$

  • S：浮点数的符号
  • M：一个二进制定点小数，称为尾数（mantissa），一般用定点原码小数表示
  • E：一个二进制定点整数，称为阶码或指数，用移码表示
  • R：基数（隐含），可约定为2、4、16等

• 32位浮点数格式举例
  

  • 第0位：数符
  • 第1~7位：用移码表示的阶码E（偏置值为64）
  • 第8~31位：24位二进制原码小数表示的尾数M
  • 基数R为2
  • 阶码的值反映浮点数的小数点的实际位置；阶码的位数反映浮点数的表示范围；尾数的位数反映浮点数的精度

1.2 浮点数的表示范围

• 上溢
  • 正上溢：运算结果大于最大正数
  • 负上溢：运算结果小于绝对值最大负数
  • 数据一旦产生上溢，计算机必须中断运算操作，进行溢出处理
• 下溢
  • 正下溢：运算结果在0和最小正数之间
  • 负下溢：运算结果在0和绝对值最小负数之间
  • 数据下溢时，浮点数值趋于0，计算机仅将其当做机器零处理

1.3 浮点数的规格化

• 尾数的位数决定了浮点数的有效数位，有效数位越多，数据的精度越高。为了在浮点数运算过程中尽可能多的保留有效数字的位数，使有效数据尽量占满尾数数位，必须在运算过程中对浮点数进行规格化操作
• 规格化：指通过调整一个非规格化浮点数的尾数和阶码的大小，使非零的浮点数在尾数的最高数位上保证是一个有效值
  • 左规
    • 当运算结果的尾数的最高数位不是有效位，即出现$\pm 0.00\cdot \cdot \cdot 0\times \cdot \cdot \cdot \times$的形式时，需要进行左规
    • 左规时，尾数每左移一位，阶码减一（基数为2时），直至尾数变成规格化形式
    • 左规可能要进行多次
  • 右规
    • 当运算结果的尾数的有效位进到小数点前面时，需进行右规
    • 右规时，将尾数右移一位，阶码加一（基数为2时）
    • 需要右规时，仅需进行一次
• 原码表示的规格化尾数M的绝对值应满足$1/R\le |M|\le 1$，若$R=2$，则有$1/2\le |M|\le 1$
  • 正数为$0.1\times \cdot \cdot \cdot \times$的形式，其最大值表示为$0.11\cdot \cdot \cdot 1$，最小值表示为$0.100\cdot \cdot \cdot 0$。尾数的表示范围为$1/2\le M\le (1-2^{-n})$
  • 负数为$1.1\times \cdot \cdot \cdot \times$的形式，其最大值表示为$1.10\cdot \cdot \cdot 0$，最小值表示为$1.11\cdot \cdot \cdot 1$。尾数的表示范围为$-(1-2^{-n})\le M\le -1/2$
  • 基数不同，浮点数的规格化形式也不同。当浮点数尾数的基数为2时，原码规格化数的尾数最高位一定是1；当基数为4时，原码规格化形式的尾数最高两位不全为0

1.4 IEEE 754 标准

IEEE 754 浮点数格式

• IEEE 754标准，浮点数的格式如下：

  • 若是32位单精度格式的浮点数，则数符占1位、阶码占8位、尾数占23位

  • 若是64位双精度格式的浮点数，则数符占1位、阶码占11位、尾数占52位

• IEEE 754浮点数的格式

类型	数符	阶码	尾数数值	总位数	偏置值(十六进制和十进制)
短浮点数	1	8	23	32	7FH	127
长浮点数	1	11	52	64	3FFH	1023
临时浮点数	1	15	64	80	3FFFH	16383

• IEEE 754标准的浮点数（除了临时浮点数外），其尾数用采取隐藏位侧率的原码表示，且阶码用移码表示的浮点数
  • 以短浮点数为例，最高位为数符位；其后是8位阶码，用移码表示，阶码的偏置值为$2^{8-1}-1=127$；基数为2；其后23位是原码表示的尾数数值位。在浮点格式中表示的23位尾数是纯小数。对于规格化的二进制浮点数，数值的最高位总是“1”，为了能使尾数多表示一位有效位，将这个“1”隐藏，称为隐藏位，因此23位尾数实际表示了24位有效数字。
  • 例如：$(12{)}_{10}=(1100{)}_2$，将它规格化后结果为$1.1\times 2^3$，其中整数部分的“1”将不存储在23位尾数内
  • 存储浮点数阶码之前，偏置值要先加到阶码真值上，例如上面的，阶码值为3，因此在短浮点数中，移码表示的阶码为$127+3=130(82H)$；在长浮点数中，阶码为$1023+3=1026=(402H)$

IEEE 754 浮点数的范围

• IEEE 754标准中，规格化的短浮点数的真值为$(-1{)}^S\times 1.M\times 2^{E-127}$；规格化长浮点数的真值为$(-1{)}^S\times 1.M\times 2^{E-1023}$。其中短浮点数的E的取值范围为 1_{254（8位表示），M为23位，共32位；长浮点数E的取值为1}2046（11位表示），M为52位，共64位
• IEEE 754浮点数的范围

格式	最小值	最大值
单精度	$E=1,M=01.0\times 2^{1-127}=2^{-126}$	$E=254,M=.111\cdots ,1.111\cdots 1\times 2^{254-127}=2^{127}\times (2-2^{-23})$
双精度	$E=1,M=01.0\times 2^{1-1023}=2^{-1022}$	$E=2046,M=.1111\cdots ,1.111\cdots 1\times 2^{2046-1023}=2^{1023}\times (2-2^{-52})$

• 对于IEEE 754格式的浮点数，阶码全0或全1时，有其特别的解释

	单精度				双精度
值的类型	符号	阶码	尾数	值	符号	阶码	尾数	值
正零	0	0	0	0	0	0	0	0
负零	1	0	0	-0	1	0	0	-0
正无穷大	0	255（全1）	0	$\infty$	0	2047(全1)	0	$\infty$
负无穷大	1	255（全1）	0	$-\infty$	1	2047（全1）	0	$-\infty$

• 全0阶码全0尾数：$+0/-0$，零的符号取决于数符S，一般情况下+0和-0是等效的
• 全1阶码全0尾数：$+\infty /-\infty$，$+\infty$在数值上大于所有有限数，$-\infty$则小于所有有限数。引入无穷大的数的目的是，在计算过程出现异常的情况下使用程序能继续进行下去

1.5 定点表示 VS 浮点表示

比较内容	定点表示	浮点表示
数值的表示范围	字长相同时，浮点数的表示的数值范围远大于定点表示法	同
精度	字长相同时，定点数的精度较大	字长相同时，浮点数虽扩大了数的表示范围，但精度降低了
数的运算	较简单	较复杂
溢出问题	当运算结果超出数的表示范围时，溢出	运算结果超出尾数的表示范围不一定溢出，只有规格化后阶码超出所能表示的范围时，才发生溢出

2. 浮点数的加减运算

• 浮点运算的特点是：阶码运算和尾数运算分开进行

2.1 对阶

• 对阶的目的：使两个操作数的小数点位置对齐，即使得两个数的阶码相等
• 先求阶差，然后以小阶向大阶看齐的原则，将阶码小的尾数右移一位（基数为2），阶加1，直至两个数的阶码相等为止
• 尾数右移时，舍弃掉有效位会产生误差，影响精度

2.2 尾数求和

• 将对阶后的尾数按定点数加/减运算规则运算
• 运算后的尾数不一定是规格化的，需进一步进行规格化处理

2.3 规格化

• 右规
  • 当结果为$\pm 1\times .\times \cdot \cdot \cdot \times$时，需进行右规，尾数右移一位，阶码加一
  • 尾数右移时，最高位1被移到小数点前一位作为隐藏位，最后一位移出时需考虑舍入
• 左规
  • 当结果为$\pm 0.0\cdot \cdot \cdot 01\times \cdot \cdot \cdot \times$时，需进行左规，尾数每左移一位，阶码减一
  • 可能需要进行多次左规，直到将第一位1移到小数点左边

2.4 舍入

• 对阶和尾数右规时，可能会对尾数进行右移，为保证运算精度，一般将低位移出的两位保留下来，参与中间过程的运算，最后将运算结果进行舍入
• 0舍1入法
  • 运算结果保留位的最高数位是0，舍去；最高数位是1，则在尾数末位加一
  • 这样可能会使尾数溢出，此时需再进行一次右规
• 恒置1法
  • 只要因移位而丢失的位中有1，就把尾数末位置1
• 截断法
  • 直接截取所需位数，丢弃后面的所有位

2.5 溢出判断

• 右规和尾数舍入
  • 数值很大的尾数舍入时，可能因为末位加1而发生尾数溢出，此时需要通过右规来调整尾数和阶。右规时阶加1，导致阶增大，此时需判断是否发生了指数上溢
  • 例如：当调整前的阶码为$11111110$时，加一后，会变成$11111111$发生指数上溢
• 左规
  • 左规时阶减一，导致阶减小，此时需判断是否发生了指数下溢
  • 左规一次阶码减一，判断阶码是否全为0来确定是否发生了指数下溢
• 说明
  • 浮点数的溢出并非以尾数溢出来判断的，尾数溢出可以通过右规操作得到纠正
  • 运算结果是否溢出主要看结果的指数是否发生了上溢，因此是由指数上溢来判断的

2.6 C语言中的浮点数类型

int $\to$ float

• 虽不会发生溢出，但float尾数连隐藏位共24位，当int型数据的第24~31（此处默认第0位为最高数位）位非0时，无法精确转换为24位浮点数的尾数，需进行舍入处理，影响精度

int/float $\to$ double

• 因为double类型的有效位数更多，因此能保留精确值

double $\to$float

• 因float表示范围更小，因此大数转换时可能会发生溢出；此外，由于尾数有效位数变少，因此高精度数转换时会发生舍入

float/double $\to$ int

• 因为int没有小数部分，因此数据会向0方向截断（仅保留整数部分），发生舍入。此外，因为int表示范围更小，因此大数转换时可能会溢出

3. 例题

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