数学真得很难吗？

这个周为了给孩子们梳理数学的学习方法，看了几本书。

《创造性思维：人工智能之父马文. 明斯基论教育》、《一个数学家的叹息》、《从一到无穷大》。都没有完全看完，下个周会继续。特别推荐《从一到无穷大》。

为什么总有孩子觉得数学难学？

或许是因为我们通常从练习“算术”的技巧开始学习的缘故。在学习算术的过程中，我们专注于避免各种错误，而非开发创造力。我也怀疑，这种对于避免错误的强调，会导致许多孩子不仅不喜欢算术，还会在未来抗拒一切带有技术性质的事物，甚至可能造成对于符号化表示的长期性厌恶。

学科认知地图的必要性

一直到20世纪，数学学科主要由算术、几何、代数和微积分构成（见图1-1）。之后，逻辑学和拓扑学开始快速发展。20世纪50年代，我们迎来了信息和计算机科学思潮的大爆发。如今，信息和计算机科学领域的新概念已经发挥强大的作用，与之相比，我们的数学课程几乎落后了一个世纪。因此，我们十分有必要探寻一些方法，来将这些新科学思想传授给年幼的孩子。

图1-1 数学世界

几何：把一个立方体的表面涂上6种颜色，一共有多少种不同的方法？你能想出方法，把一个立方体分成3个完全相同的五面体（见图1-2）吗？我们知道手套分左手和右手两种形式，但为什么只有这两种形式呢？虽然我们生活在三维的世界里，但是掌握三维空间思考方法的人却寥寥可数，三维空间感弱是否应该视为一种障碍？

图1-2

统计学：在日常生活的应用方面，很少有其他数学学科能与统计学相匹敌。影响是怎么累积的？什么样的知识和经验能辅助孩子更好地归纳？如何评估证据？相关关系和因果关系之间的区别是什么？每个孩子都应该学习最常见的偏差表，还应当学习为什么要对奇闻轶事持怀疑态度。

《从一到无穷大》

首先讲了一个纯数学问题，无穷大到底有多大。数学家发现，在无穷大的世界中，整体是可能等于部分的，比如整数的数目和偶数的数目就是相等的。但并不是说所有的无穷大都一样大，无穷大数分为三级，一级比一级大，比如一条线上点的数目，就要比整数的数目要更大。

目前数学家发现，无穷大数一共有三个等级。第一级无穷大，就是整数的数目。第二级无穷大，就是线段、长方形、立方体这些几何结构里点的数目。也就是说，一条线段上所有点的数目，跟一个长方形里所有点的数目，或者是一个立方体内所有点的数目，都是一个级别的，是相等的。第三级无穷大，是所有曲线的形状的数目。什么意思呢？就是假如你随手画一条歪歪扭扭的曲线，随便画，你肯定能够画出无穷多种形状的曲线。这些千奇百怪的曲线的总数，是无穷大的，而且是第三级无穷大，是最高等级的无穷大。直到现在为止，数学家也没有发现比这个无穷大还大的数字。

第二个问题是数学和物理相结合的问题，虚数到底有什么用？虚数就是负数的平方根，科学家们一开始认为，虚数是毫无意义的，也是没用的。但后来物理学家发现，当我们需要把时间和空间相结合，来建立一套四维空间的几何学，或者研究狭义相对论的时候，虚数就能派上大用场。

最后一个问题和几何有关，弯曲的三维空间到底是怎么回事？通过测量地球和恒星之间的夹角，科学家发现，大质量的物体会导致空间发生弯曲，而且引力的本质，就是这种空间的弯曲。不光如此，如果空间弯曲成某些特殊的形状，就可能具有某些极其特别的性质。