机器学习中的L0、L1、L2正则化

过拟合

过拟合问题在机器学习中是一个经常遇到的问题，所谓过拟合，即模型过度地拟合了训练数据，从而导致模型在训练数据上表现极佳，但在未知数据上表现却较差。举一个极端的例子，如果一个模型中的参数比训练数据的总数还多，那么只要训练数据不冲突，这个模型完全可以记住所有的训练数据结果从而使损失函数为0。

下图展示了过于简单的模型、合理的模型与过拟合的模型在训练时的不同情况。

正则化

为了避免过拟合问题，一个常用的方法就是正则化(regularization)，正则化的思想就是在损失函数中加入刻画模型复杂度的指标，即对模型的复杂度进行惩罚，从而避免模型过于复杂。假设模型在训练数据上表现的损失函数为J(θ)，则在优化时不是直接优化J(θ)，而是优化J(θ)+λR(w)，其中R(w)刻画的是模型的复杂程度，而λ表示模型复杂损失在总损失中的比例。

常用的复杂度函数R(w)有两种，一种是L1正则化和L2正则化。

• L1正则化
  计算公式为：

  
  即模型参数的绝对值之和

• L2正则化
  计算公式为：

  
  即模型参数的平方和

还有一种正则化叫L0正则化，相比L1、L2正则化较少使用：

• L0正则化
  计算公式为：
  
  即模型参数中非0参数的个数

无论哪种正则化方式，基本思想都是希望通过限制权重的大小，从而使得模型不能任意拟合训练数据中的随即噪音。

各正则化方式的区别

首先讨论两个问题：

1）实现参数的稀疏有什么好处吗？

所谓参数变稀疏是指由更多的参数变为0。一个好处是可以简化模型，避免过拟合。因为一个模型中真正重要的参数可能并不多，如果考虑所有的参数起作用，那么可以对训练数据可以预测的很好，但是对测试数据就只能呵呵了。另一个好处是参数变少可以使整个模型获得更好的可解释性。

2）参数值越小代表模型越简单吗？

是的。为什么参数越小，说明模型越简单呢，这是因为越复杂的模型，越是会尝试对所有的样本进行拟合，甚至包括一些异常样本点，这就容易造成在较小的区间里预测值产生较大的波动，这种较大的波动也反映了在这个区间里的导数很大，而只有较大的参数值才能产生较大的导数。因此复杂的模型，其参数值会比较大。

L0正则化

根据上面的讨论，稀疏的参数可以防止过拟合，因此用L0范数（非零参数的个数）来做正则化项是可以防止过拟合的。

从直观上看，利用非零参数的个数，可以很好的来选择特征，实现特征稀疏的效果，具体操作时选择参数非零的特征即可。但因为L0正则化很难求解，是个NP难问题，因此一般采用L1正则化。L1正则化是L0正则化的最优凸近似，比L0容易求解，并且也可以实现稀疏的效果。

L1正则化

L1正则化在实际中往往替代L0正则化，来防止过拟合。在江湖中也人称Lasso。

L1正则化之所以可以防止过拟合，是因为L1范数就是各个参数的绝对值相加得到的，我们前面讨论了，参数值大小和模型复杂度是成正比的。因此复杂的模型，其L1范数就大，最终导致损失函数就大，说明这个模型就不够好。

L2正则化

L2正则化可以防止过拟合的原因和L1正则化一样，只是形式不太一样。

L2范数是各参数的平方和再求平方根，我们让L2范数的正则项最小，可以使W的每个元素都很小，都接近于0。但与L1范数不一样的是，它不会是每个元素为0，而只是接近于0。越小的参数说明模型越简单，越简单的模型越不容易产生过拟合现象。

L2正则化江湖人称Ridge，也称“岭回归”。

L1正则化与L2正则化的对比

• L1正则化会让参数更稀疏，而L2不会
  L1正则化和L2正则化可以表示为：
  
  
  我们考虑两维的情况，在(w1, w2)平面上可以画出目标函数的等高线，而约束条件则成为平面上半径为C的一个 norm ball 。等高线与 norm ball 首次相交的地方就是最优解：
  
  
  可以看到，L1-ball 与L2-ball 的不同就在于L1在和每个坐标轴相交的地方都有“角”出现，有很大的几率等高线会和L1-ball在四个角，也就是坐标轴上相遇，坐标轴上就可以产生稀疏，因为某一维可以表示为0。而等高线与L2-ball在坐标轴上相遇的概率就比较小了。
  因此，L1正则化可以达到类似特征选择的功能。

L1正则化计算公式不可导，而L2正则化公式可导

所以含有L2正则化损失函数的优化要更加简洁。在实践中，也可以将L1正则化和L2正则化同时使用：

tensorflow中的带正则化损失函数的定义

import tensorflow as tf
w= tf.Variable(tf.random_normal([2,1],stddev=1,seed=1))
y = tf.matmul(x,w)

loss = tf.reduce_mean(tf.square(y_-y))+tf.contrib.layers.l2_regularizer(lambda)(w)

参考

L0,L1,L2正则化浅析