算法基础1.分治法

• 什么是分支法

  所谓分治法，分而治之。

  • 分解原问题成若干个子问题。这些子问题是原问题的规模较小的实
    例。
  • 解决这些子问题，递归地求解各子问题。然而，子问题的规模足够
    小，可直接求解。
  • 合并这些子问题的解成原问题的解。

  以上三个步骤就是分治法的核心思想。归并排序就是运用了这种思想的
  一种算法。

• 分治法思想的运用：归并排序

  我想大家都对基本的排序算法有一定的了解。冒泡排序，入排序等。它们的时间复杂度都是O(n^2)。然而归并排序却可以做到O(n)。那么它是怎么做到的呢。下面我们来介绍归并排序。

  首先我们假设有一个数组arr[n]。现在要求我们排序。按照分支思想。我们把数组分成两半。分别排序数组左半部分，右半部分。这样就把一个数组的排序问题分成两个比原规模更小的问题。然而我们不满足于仅仅把数组分成两半，这样问题的规模还是比较大。现在我们把这两个数组分别又分为两半。如此反复下去。我们可以得到，最后数组被分为n部分，每个部分只有一个元素。此时，子问题的规模已经足够小了，并且不能再进行分割了。并且此时的子问题就是把单个元素排序，于是我们可以直接得出解答，单个元素无序排序。

  接下来的问题就是如何递归地求解子问题。( 在这里我们简单地为n为偶数，实际上n为奇数也是很容易理解的 )我们一个大的问已经被细化成了小规模的问题了。而现在我们已经解决了最底层单个元素的排序。现在考虑每两个元素配对，配对规则为：这两个元素一定是从一个上一层的数组分解出来的。这样，我们可以把整个元素合并成多块，这些块都是由两个元素组成的。接下来我们考虑把这些块按照前面的做法再次合并。最后得到排序后的结果。

  上面的合并过程我并没有把合并这个过程给写出来。这里我们单地对其进行分析。我们构造一个函数Merge(Arr, p, q, r)来完成合并的的工作，目的就是把子数组Arr[p,....,q]和Arr[q+1, r]做排序的工作得到一个单一的已经排好序的子数组Arr[p, ... , r]。

  为了更好地理解这个排序的过程，我们可以举一个例子。假设有两牌，这两堆牌都是排好序的。顶部最小。现在的问题是我们如何把这堆牌合成一堆，并且形成的这堆牌是排好序的。我们很容易从生活实例中解答这个问题：分别查看这两堆牌最顶部的那张牌，比较大小，哪个更小，我们就取出这张牌。如此反复。我们可以得到一堆排好序的牌。

类似地，对于函数Merge(Arr, p, q, r)所要处理的两个数组Arr[p, ...., q], Arr[q+1, ... , r]，我们采用同样的方法。

典型应用： 归并排序， 最大子数组问题。