高等数学——二重积分

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本文大部分内容皆来自武忠祥老师考研教材和视频课。

概念

• 定义：设函数$z=f(x,y)$在有界区域$D$上有定义，将区域$D$任意分成$n$个小区域$\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,...,\Delta {\sigma }_n$，其中$\Delta {\sigma }_i$代表第$i$个小区域，也表示它的面积，在每个$\Delta {\sigma }_i$上任取一点$({\xi }_i,{\eta }_i)$，做乘积$f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$，并求和${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$，记$\lambda$为$n$个小区域$\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,...,\Delta {\sigma }_n$中最大直径，如果${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$存在，则称$f(x,y)$在区域$D$上的二重积分，记为${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$。
• 几何意义：二重积分${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$是一个数，当$f(x,y)\ge 0$时，其值等于以区域$D$为底，以曲面$z=f(x,y)$为曲顶柱体的体积，当$f(x,y)\le 0$时，二重积分的值为负数，其绝对值等于上述曲顶柱体的体积。

性质

• 不等式性质：
  • 若在$D$上$f(x,y)\le g(x,y)$，则${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \le {\iint }_{D}g(x,y)d\sigma$；
  • 若在$D$上$m\le f(x,y)\le M$，则$m\sigma \le {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \le M\sigma$（其中$\sigma$为区域$D$的面积）；
  • $|{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma |\le {\iint }_D|f(x,y)|d\sigma$。
• 中值定理：设函数$f(x,y)$在闭区域$D$上连续，$\sigma$为区域$D$的面积，则在$D$上至少存在一点$(\xi ,\eta )$，使得${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )\sigma$。

计算

利用直角坐标计算

• 先$y$后$x$，积分区域$D$可以用$a\le x\le b$，${\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)$表示：$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy$$
• 先$x$后$y$，积分区域$D$可以用$a\le y\le b$，${\phi }_1(y)\le x\le {\phi }_2(y)$表示：$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dy{\int }_{{\phi }_1(y)}^{{\phi }_2(y)}f(x,y)dx$$

利用极坐标计算

先$r$后$\theta$：积分区域$D$可以用$\alpha \le \theta \le \beta$，$\phi (\alpha )\le r\le \phi (\beta )$表示，$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(rcos\theta ,rsin\theta )rdr$$
适合使用极坐标计算的二重积分的特征：

• 适合使用极坐标计算的被积函数：$f(\sqrt{x^2+y^2})f(\frac{}{y}x),f(\frac{x}{y})$。
• 适合用极坐标的积分域：$x^2+y^2\le R^2,r^2\le x^2+y^2\le R^2，x^2+y^2\le 2ax,x^2+y^2\le 2by$。

利用函数的奇偶性计算

• 若积分区域$D$关于$y$轴对称，$f(x,y)$关于$x$轴有奇偶性，则$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{l}2{\iint }_{D_x\ge 0}f(x,y)d\sigma ,f(x,y)关于x为偶函数\\ 0,f(x,y)关于x为奇函数\end{array}$$
• 若积分区域$D$关于$x$轴对称，$f(x,y)$关于$y$轴有奇偶性，则$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{l}2{\iint }_{D_y\ge 0}f(x,y)d\sigma ,f(x,y)关于y为偶函数\\ 0,f(x,y)关于y为奇函数\end{array}$$

利用变量的轮换对称性计算

如果积分区域$D$具有轮换对称性，也就是关于直线$y=x$对称，即$D$的表达式中将$x$换作$y$，$y$换作$x$表达式不变，则$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D}f(y,x)d\sigma$$