AVL树（平衡二叉树）详解 | C/C++实现

性质

在BST树的基础上引入了平衡因子的概念，要求任意一个节点的左右子树高度差不超过1

需要旋转的四种情况

• 左孩子左子树太高：右旋
• 右孩子右子树太高：左旋
• 左孩子右子树太高：先对左孩子左旋，再对当前节点右旋（左平衡）
• 右孩子左子树太高：先对右孩子右旋，再对当前节点左旋（右平衡）

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

// 定义节点类型
template
struct Node {
    Node(T data = T()) : data_(data), left_(nullptr), right_(nullptr), height_(1) {}
    T data_;
    Node* left_;
    Node* right_;
    int height_; // 记录节点的高度
};

// AVL树
template
class AVLTree {
public:
    AVLTree() : root_(nullptr) {}
    // 插入
    void insert(const T& val) {
        root_ = insert(root_,val);
    }
    // 删除
    void remove(const T& val) {
        root_ = remove(root_,val);
    }
private:
    Node* root_; // 根节点
    // 返回节点的高度
    int height(Node *node) {
        return node == nullptr ? 0 : node->height_;
    }
    // 右旋
    Node* rightRotate(Node* node);
    // 左旋
    Node* leftRotate(Node* node);
    // 左平衡
    Node* leftBalance(Node* node);
    // 右平衡
    Node* rightBalance(Node* node);
    // 插入
    Node* insert(Node* node, const T& val);
    // 删除
    Node* remove(Node* node, const T& val);
};

// 右旋
template
Node* AVLTree::rightRotate(Node* node) {
    // 节点旋转
    Node* child = node->left_;
    node->left_ = child->right_;
    child->right_ = node;
    // 高度更新
    node->height_ = max(height(node->left_), height(node->right_)) + 1;
    child->height_ = max(height(child->left_), height(child->right_)) + 1;
    // 返回旋转后的子树的新根节点
    return child;
}

// 左旋
template
Node* AVLTree::leftRotate(Node* node) {
    // 节点旋转
    Node *child = node->left_;
    node->right_ = child->left_;
    child->left_ = node;
    // 高度更新
    node->height_ = max(height(node->left_), height(node->right_)) + 1;
    child->height_ = max(height(child->left_), height(child->right_)) + 1;
    // 返回旋转后的子树的新根节点
    return child;
}

// 左平衡 先对node的左子树左旋，再对node右旋
template
Node* AVLTree::leftBalance(Node *node) {
    node->left_ = leftRotate(node->left_);
    return rightRotate(node);
}

// 右平衡 先对node的右子树右旋，再对node左旋
template
Node* AVLTree::rightBalance(Node *node) {
    node->right_ = rightRotate(node->right_);
    return leftRotate(node);
}

// 插入
template
Node* AVLTree::insert(Node *node, const T &val) {
    // 递归结束 找到插入的位置
    if (node == nullptr) return new Node(val);

    if (node->data_ > val) {
        node->left_ = insert(node->left_,val);
        // 判断是否失衡
        if (height(node->left_) - height(node->right_) > 1) {
            if (height(node->left_->left_) >= height(node->left_->right_)) {
                // 左孩子的左子树太高
                node = rightRotate(node);
            } else {
                // 左孩子的右子树太高
                node = leftBalance(node);
            }
        }
    } else if (node->data_ < val) {
        node->right_ = insert(node->right_,val);
        if (height(node->right_) - height(node->left_) > 1) {
            if (height(node->right_->right_) >= height(node->right_->left_)) {
                node = leftRotate(node);
            } else {
                node = rightBalance(node);
            }
        }
    } else {
        // 找到相同节点 不需要向下递归 直接向上回溯
    }

    // 因为子树添加了新的节点 所以在递归的时候需要更新节点高度
    node->height_ = max(height(node->left_), height(node->right_)) + 1;

    return node;
}

// 删除操作 从叶子节点中选出一个节点 进行替换
template
Node* AVLTree::remove(Node *node, const T &val) {
    if (node == nullptr) {
        return nullptr;
    }

    if (node->data_ > val) {
        node->left_ = remove(node->left_,val);
        if (height(node->right_) - height(node->left_) > 1) {
            if (height(node->right_->right_) >= height(node->right_->left_)) {
                node = leftRotate(node);
            } else {
                node = rightBalance(node);
            }
        }
    } else if (node->data_ < val) {
        node->right_ = remove(node->right_,val);
        if (height(node->left_) - height(node->right_) > 1) {
            if (height(node->left_->left_) >= height(node->left_->right_)) {
                node = rightRotate(node);
            } else {
                node = leftBalance(node);
            }
        }
    } else {
        // 找到节点
        // 如果有两个孩子
        if (node->left_ != nullptr && node->right_ != nullptr) {
            // 谁高删谁的节点
            if (height(node->left_) >= height(node->right_)) {
                Node* pre = node->left_;
                while (pre->right_ != nullptr) {
                    pre = pre->right_;
                }
                node->data_ = pre->data_;
                node->left_ = remove(node->left_,pre->data_);
            } else {
                Node* pre = node->right_;
                while (pre->left_ != nullptr) {
                    pre = pre->left_;
                }
                node->data_ = pre->data_;
                node->right_ = remove(node->right_,pre->data_);
            }
        } else {
            // 如果只有一个孩子
            if (node->left_ != nullptr) {
                Node* left = node->left_;
                delete node;
                return left;
            } else if (node->right_ != nullptr) {
                Node* right = node->right_;
                delete node;
                return right;
            } else {
                delete node;
                return nullptr;
            }
        }
    }

    // 更新节点高度
    node->height_ = max(height(node->left_), height(node->right_)) + 1;
    return node;
}

性能分析

• AVL树插入一个节点最多只需要两次旋转就可以恢复平衡

插入一个节点会导致节点所在的子树高度加1，但是旋转会让新节点所在子树减1，所以AVL树插入一个节点最多只需要两次旋转就可以了

• AVL树删除一个节点最多需要O(logN)次旋转才可以恢复平衡

删除一个节点会导致节点所在子树减1，旋转又会让节点所在的子树减1，所以最坏的时候需要O(logN)次旋转

删除节点 X 之后，R4的平衡因子变为 -2，R4 左旋；R3 的平衡因子变为 2，R3 右旋；R2 的平衡因子变为 -2， R2左旋；R1的平衡因子变为2，R1 右旋

当从根节点至待删除节点的父节点平衡因子交替为 -1 和 +1，删除该节点一旦触发旋转就需要logn次旋转