2022-01-21-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P054 习题25）
函数,具有下述性质:对任意,都有
(i);
(ii);
(iii).
证明:对任意正整数,满足,且的整数的个数为.
证明
在条件(i)中令,可知.对,设的二进制表示为,这里,而对,有.
我们对归纳来证明:对任意,都有
这里数列这义为, (它是Fibonacci数列下标向前平移一项所得).
事实上,由及条件(iii)可知,进而可得,,.所以,命题对成立.
现设(1)对和成立,考虑的情形,此时可设.
如果,那么由(i)知
(这里用到),(1)对成立;
如果,那么由(ii)知,这里,于是,,(1)也成立;\
如果,那么,这里,利用条件(i)及前面的结论可知(1)成立;
如果,那么,这里,利用条件(ii)及前面的结论可知(1)成立.所以,(1)对任意都成立.
利用可知的充要条件是的二进制表示中没有相邻的两个数都等于(这里还用到数列的定义).在中,记二进制表示中没有相邻的两个1的数的个数为,则,,而去掉的末位数字后,依、分类,分别有和(因为时,必有),故.
这表明,在中,有个数满足,从而命题成立.
2022-01-21-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P054 习题26）
函数定义如下,且对任意正整数,都有
(i)证明:对任意正整数,都有;
(ii)求的表达式.
证明
由递推式,可知.故.因此,如果的值确定了,那么的值唯一确定.从而,存在唯一的函数f满足条件.
现在,令,记,则,且对任意,都有
这里.
另一方面,,这里用到.
注意到(否则,导致为有理数,矛盾),利用上述结论,若,则,从而,此时,即有;若,则,从而,这时,即.
上述讨论表明:满足所满足的所有条件,从而对任意,有,这给出了(ii)要求的答案
结合前题(1)可知(i)成立.
问题获解.
2022-01-21-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P054 习题27）
数列定义如下,,.对每个非负整数,求满足,且的下标的个数.
解
对每个,设在二进制表示下,相邻数对中00与11出现的次数和为,相邻数对中01与10出现的次数和为.
我们证明:
事实上,当时,,故(1)对成立.
现设(1)对下标都成立,考虑的情形.
如果二进制表示下,的末两位为00或11,则或,这时,,而此时,,.所以,(1)对成立.
如果二进制表示下,的末两位为01或10,则或,这时,此时,,所以,(1)对成立综上,(1)对任意都成立.
现在需要计算中,在二进制表示下使得与相等的的个数.
这时在二进制表示下是一个位数,设为,当时,将的从左到右每一位减去它的下一位数,然后取绝对值,可得一个元的0、1数组(例如:若,则),注意到,每一个相邻数对00与11变为中的一个0,而01与10变为中的一个1.
所以,若,则中1的个数与0的个数相同.
反过来,对一个由0、1组成的元数组,则在意义下求下面的和,,,,这里,那么,是一个满足的数的二进制表示.
这表明与之间是一个一一对应.
所以,原题中所求答案等于元0、1数组中0与1的个数相等的数组的个数.
因此,当为奇数时,答案为0;当为偶数时,答案为(注意,这里认为).
2022-01-21-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P054 习题28）
数列满足,证明:对任意大于1的正整数,存在下标,使得.
证明
我们证明:对任意,都有
(利用此结果及或,即可知命题成立).
事实上,当时,由知,,,,故(1)对成立.
现设(1)对都成立,考虑的情形,由(1)的结构(是的一个排列)可知是的一个排列,利用递推关系式可知,,,,.所以,结论(1)对也成立.