2023-04-10 网络流和最大流问题

网络流和最大流问题

1 网络流和最大流问题阐述

网络流基本概念

网络流图中，从源点出发，在满足每条边容量限制的条件下，汇点t最多能接收多少流量

• s:source
• t:target

网络流需要满足的限制

• 容量限制
• 平衡限制：除了源点s和汇点t，对于每一个点，流入量等于流出量
• 从源点s流出的流量，一定等于最终汇入汇点t的流量
  

引出最大流问题

网络流图中，从源点s出发，在满足每条边容量限制、平衡限制的条件下，汇点t最多能接收多少流量？

2 Ford-Fulkerson思想

Ford-Fulkerson思想的核心是当路径上的容量限制小于流量时，把流量改成负值加到图上，这个加上的流量叫残量，在残量图中不断找增广路径，直到没有增广路径为止~

手动求最大流的风险

• 1.初始化网络流图：建立一个有向图，标注上流量(蓝色字体)和容量(黑色字体)

  

• 2.手动模拟不难得出该图的最大流应该是5，路线如下图所示：

  

• 3.手动找最大流方法的思想：随便找一条s到t的路径，只要路径还没满就接着找~直到无法再继续往t汇入流量。

  这个思路是有问题的，前面选择的路径不对很可能得不到正确的最大流.如下图，如果上来就走0->1->2->3的路线，路线上直接传流量3，那么后续其他路径也没法走了，最终t只能得到3，显然不是最大流
  
  

引入Ford-Fulkerson思想

• 1.针对上面手动法的问题，我们可以引入负流量和反向边，即虚拟一条2->1的流量值2，和原来的3抵消，1->2的流量还剩1，再从1->2把流入1的2个流量流入到3，即完成了最大流5的求解。这便是Ford-Fulkerson思想

  

• 2.残量图和增广路径的概念和图示
  • 增广路径：所有边的权值都大于0的图中的路径
  • 残量图：记录流量流过后，正向边权值剩余和反向边权值大小的图

  

• 3.上面描述经过理论抽象后为：在残量图中不断寻找增广路径，直到没有增广路径，汇入点的流量即为图的最大流。

  

3~4 Edmonds-Karp算法

不断进行BFS寻找增广路经和更新残量图，直到找不到增广路径。最后所有增广路径的流量加起来就是最大流。注意两个事项：

• 1.残量图中，权值为0的边不能走(不管是正向边还是反向边，反向边代表可以回流的流量，前提是正向边已经流入了流量)
• 2.每次BFS遍历到一条增广路径后，都要重新更新残量图，然后进行下一轮的BFS，按照上一步的原则，直到找不到增广路径为止

下面是一个详细的用上面思路找最大流的过程，以下图为例：

• 1.第1遍BFS遍历，得到一条增广路径0->1->3，取边0->1和1->3的较小权值2，所以从0出流量2，更新残量网络后如下：

  

• 2.第2遍BFS遍历，得到一条增广路径0->2->3，注意不能走权值为0的边2->1和1->3，取边0->2和2->3的较小权值2，所以从0出流量2到2，更新残量网络后如下：

  

• 3.第3遍BFS遍历，得到一条增广路径0-1->>2->3，注意不能走权值为0的边0->2和1->3，取边0->1、1->2和2->3的较小权值1，所以从0出流量1到1，更新残量网络后如下：

  

• 4.第4边BFS遍历，0的邻接边向外的权值都已经为0，无法在进行BFS遍历，所以算法执行完毕，最大流就是汇点所有临边的入流量值2+3=5

Edmonds-Karp算法实现和测试

• 实现代码
• 测试代码

7 网络流问题建模

最大流问题引入

参考博客：http://www.matrix67.com/blog/archives/5190

在一场职业棒球赛中,每队要打162场比赛
最终,所胜场次最多的队伍,为冠军
如果有平局,则进行加赛
在比赛过程中,如果发现一个队伍无论如何都不可能获冠,则直接淘汰
比如A队已经获得100胜, B队获得70胜,还剩29场比赛未打， 则B队淘汰

Team	胜	负	余	纽约	巴尔的摩	波士顿	多伦多	底特律
纽约New York	75	59	28	0	3	8	7	3
巴尔的摩Baltimore	71	63	28	3	0	2	7	4
波士顿Boston	69	66	27	8	2	0	0	0
多伦多Toronto	63	72	27	7	7	0	0	0
底特律Detroit	49	86	27	3	4	0	0	0

问题：目前排名第五的底特律Detroit是否还有希望夺冠？

问题建模和分析

关键：除了底特律以外的其他队互相打完比赛之后，能否都最多76场胜利(因为底特律剩下的比赛全赢了也就49+27=76胜)？

• 源点s发出的边和权值表示指向的两个队之间的比赛，最多给输出的胜利场次;
• 汇点汇入的权值表示是否能让底特律以外的几个队拿到76场胜利。76-75=1、76-71=5、76-69=7、76-63=13、76-49=17
• 通过上面图的最大流如果大于27=76-49，表示底特律还有机会；如果小于27，表示底特律没机会了

提炼出图的信息为:

11 19
0 1 3
0 2 8
0 3 7
0 4 2
0 5 7
1 6 3
1 7 3
2 6 8
2 8 8
3 6 7
3 9 7
4 7 2
4 8 2
5 7 7
7 9 7
6 10 1
7 10 5
8 10 7
9 10 13

代码实现和结论

• 实现代码

/***********************************************************
 * @Description : 最大流比赛问题之棒球比赛
 * @author      : 梁山广(Liang Shan Guang)
 * @date        : 2019/12/27 21:06
 * @email       : [email protected]
 ***********************************************************/
package Chapter14NetworkFlowsAndMaxFlows;

import Chapter11WeightedGraphAndMinimumSpanningTree.Section1To2WeightedGraph.ReadWeightedGraph;
import Chapter11WeightedGraphAndMinimumSpanningTree.Section1To2WeightedGraph.WeightedGraph;

public class BaseBall {
    public static void main(String[] args) {
        String filepath = "src/main/java/Chapter14NetworkFlowsAndMaxFlows/baseball.txt";
        WeightedGraph networkGraph = new WeightedGraph(true);
        ReadWeightedGraph.init(networkGraph, filepath);
        MaxFlow maxFlow = new MaxFlow(networkGraph, 0, 10);
        // 结果为26，表明剩下的27场比赛没法让底特律以外的队伍都<=76，所以底特律没机会夺冠了，可以被淘汰了
        System.out.println("当前网络0->10的最大流为：" + maxFlow.getMaxFlow());
    }
}
/**
 * 顶点数V = 11, 边数E = 19
 * 当前网络0->10的最大流为：26
 */

8 最大流算法总结

Edmonds-Karp算法总结

常见的求最大流的算法

算法	时间复杂度
Edmonds-Karp算法	O(VE^2)
Dinic算法	O(VE^2)
MPM算法	O(V^3)

更多相关问题

• 最小割：和最大流问题很相似
• 网络流量
• 分配
• 匹配问题(下一章第15章会讲)