2023-04-10 网络流和最大流问题

网络流和最大流问题

1 网络流和最大流问题阐述

网络流基本概念

网络流图中,从源点出发,在满足每条边容量限制的条件下,汇点t最多能接收多少流量
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  • s:source
  • t:target

网络流需要满足的限制

  • 容量限制
  • 平衡限制:除了源点s和汇点t,对于每一个点,流入量等于流出量
  • 从源点s流出的流量,一定等于最终汇入汇点t的流量
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引出最大流问题

网络流图中,从源点s出发,在满足每条边容量限制、平衡限制的条件下,汇点t最多能接收多少流量?

2 Ford-Fulkerson思想

Ford-Fulkerson思想的核心是当路径上的容量限制小于流量时,把流量改成负值加到图上,这个加上的流量叫残量,在残量图中不断找增广路径,直到没有增广路径为止~

手动求最大流的风险

  • 1.初始化网络流图:建立一个有向图,标注上流量(蓝色字体)和容量(黑色字体)

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  • 2.手动模拟不难得出该图的最大流应该是5,路线如下图所示:

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  • 3.手动找最大流方法的思想:随便找一条s到t的路径,只要路径还没满就接着找~直到无法再继续往t汇入流量。

    这个思路是有问题的,前面选择的路径不对很可能得不到正确的最大流.如下图,如果上来就走0->1->2->3的路线,路线上直接传流量3,那么后续其他路径也没法走了,最终t只能得到3,显然不是最大流
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引入Ford-Fulkerson思想

  • 1.针对上面手动法的问题,我们可以引入负流量和反向边,即虚拟一条2->1的流量值2,和原来的3抵消,1->2的流量还剩1,再从1->2把流入1的2个流量流入到3,即完成了最大流5的求解。这便是Ford-Fulkerson思想

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  • 2.残量图和增广路径的概念和图示
    • 增广路径:所有边的权值都大于0的图中的路径
    • 残量图:记录流量流过后,正向边权值剩余和反向边权值大小的图

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  • 3.上面描述经过理论抽象后为:在残量图中不断寻找增广路径,直到没有增广路径,汇入点的流量即为图的最大流。

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3~4 Edmonds-Karp算法

不断进行BFS寻找增广路经和更新残量图,直到找不到增广路径。最后所有增广路径的流量加起来就是最大流。注意两个事项:

  • 1.残量图中,权值为0的边不能走(不管是正向边还是反向边,反向边代表可以回流的流量,前提是正向边已经流入了流量)
  • 2.每次BFS遍历到一条增广路径后,都要重新更新残量图,然后进行下一轮的BFS,按照上一步的原则,直到找不到增广路径为止

下面是一个详细的用上面思路找最大流的过程,以下图为例:
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  • 1.第1遍BFS遍历,得到一条增广路径0->1->3,取边0->11->3的较小权值2,所以从0出流量2,更新残量网络后如下:

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  • 2.第2遍BFS遍历,得到一条增广路径0->2->3,注意不能走权值为0的边2->11->3,取边0->22->3的较小权值2,所以从0出流量2到2,更新残量网络后如下:

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  • 3.第3遍BFS遍历,得到一条增广路径0-1->>2->3,注意不能走权值为0的边0->21->3,取边0->11->22->3的较小权值1,所以从0出流量1到1,更新残量网络后如下:

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  • 4.第4边BFS遍历,0的邻接边向外的权值都已经为0,无法在进行BFS遍历,所以算法执行完毕,最大流就是汇点所有临边的入流量值2+3=5

Edmonds-Karp算法实现和测试

  • 实现代码
  • 测试代码

7 网络流问题建模

最大流问题引入

参考博客:http://www.matrix67.com/blog/archives/5190

在一场职业棒球赛中,每队要打162场比赛
最终,所胜场次最多的队伍,为冠军
如果有平局,则进行加赛
在比赛过程中,如果发现一个队伍无论如何都不可能获冠,则直接淘汰
比如A队已经获得100胜, B队获得70胜,还剩29场比赛未打, 则B队淘汰

Team 纽约 巴尔的摩 波士顿 多伦多 底特律
纽约New York 75 59 28 0 3 8 7 3
巴尔的摩Baltimore 71 63 28 3 0 2 7 4
波士顿Boston 69 66 27 8 2 0 0 0
多伦多Toronto 63 72 27 7 7 0 0 0
底特律Detroit 49 86 27 3 4 0 0 0

问题:目前排名第五的底特律Detroit是否还有希望夺冠?

问题建模和分析

关键:除了底特律以外的其他队互相打完比赛之后,能否都最多76场胜利(因为底特律剩下的比赛全赢了也就49+27=76胜)?
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  • 源点s发出的边和权值表示指向的两个队之间的比赛,最多给输出的胜利场次;
  • 汇点汇入的权值表示是否能让底特律以外的几个队拿到76场胜利。76-75=1、76-71=5、76-69=7、76-63=13、76-49=17
  • 通过上面图的最大流如果大于27=76-49,表示底特律还有机会;如果小于27,表示底特律没机会了

提炼出图的信息为:

11 19
0 1 3
0 2 8
0 3 7
0 4 2
0 5 7
1 6 3
1 7 3
2 6 8
2 8 8
3 6 7
3 9 7
4 7 2
4 8 2
5 7 7
7 9 7
6 10 1
7 10 5
8 10 7
9 10 13

代码实现和结论

  • 实现代码
/***********************************************************
 * @Description : 最大流比赛问题之棒球比赛
 * @author      : 梁山广(Liang Shan Guang)
 * @date        : 2019/12/27 21:06
 * @email       : [email protected]
 ***********************************************************/
package Chapter14NetworkFlowsAndMaxFlows;

import Chapter11WeightedGraphAndMinimumSpanningTree.Section1To2WeightedGraph.ReadWeightedGraph;
import Chapter11WeightedGraphAndMinimumSpanningTree.Section1To2WeightedGraph.WeightedGraph;

public class BaseBall {
    public static void main(String[] args) {
        String filepath = "src/main/java/Chapter14NetworkFlowsAndMaxFlows/baseball.txt";
        WeightedGraph networkGraph = new WeightedGraph(true);
        ReadWeightedGraph.init(networkGraph, filepath);
        MaxFlow maxFlow = new MaxFlow(networkGraph, 0, 10);
        // 结果为26,表明剩下的27场比赛没法让底特律以外的队伍都<=76,所以底特律没机会夺冠了,可以被淘汰了
        System.out.println("当前网络0->10的最大流为:" + maxFlow.getMaxFlow());
    }
}
/**
 * 顶点数V = 11, 边数E = 19
 * 当前网络0->10的最大流为:26
 */

8 最大流算法总结

Edmonds-Karp算法总结

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常见的求最大流的算法

算法 时间复杂度
Edmonds-Karp算法 O(VE^2)
Dinic算法 O(VE^2)
MPM算法 O(V^3)

更多相关问题

  • 最小割:和最大流问题很相似
  • 网络流量
  • 分配
  • 匹配问题(下一章第15章会讲)

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