高中奥数 2021-07-16

2021-07-16-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P104 习题11）

由数字组成的位自然数中(数字可以重复),同时包含数字的数有多少个?

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设,显然.

设 ,有.

本题就是求,可计算出.

2021-07-16-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P104 习题12）

在区间中,使得方程有非负整数解、,且的整数共有多少个?

解

设表示整数的个数.若,由于,,则由容斥原理得

.

由于大于且不大于的平方数有个,所以.

大于且不大于的立方数有个,即个.

因为,所以大于不大于的次方数有个,即.

以此类推可得,时个.

又时有非负整数解且.

于是满足题意的整数有个.

2021-07-16-03

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P104 习题13）

对于,求函数取的不同整数值的个数.

解

以来分别表示函数,,,和的所有间断点的集合.

则易知,且,,.

由此可得,

.

由容斥原理知的间断点的个数为
.

故知所取的不同整数值的个数为.

2021-07-16-04

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P104 习题14）

证明:任意个介于与之间(包括和)的不同的正整数,其中必有两个数不互质.

证明

设,并记,.

由容斥原理得.

这说明中不能被任何一个整除的整数共有个.

于是任意取和之间的个数,至少有个数属于.

根据抽屉原则知,必有两个数属于某个,故结论成立.

2021-07-16-05

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P104 习题15）

已知求满足条件,且的整数的个数.

解

因为,所以,即且且.

令全集,,

,.

则,

,

,

.

.

故满足条件的整数的个数为.