代码随想录算法训练营第三十八天 | 动态规划理论基础、509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯

动态规划理论基础

动态规划，简称DP（Dynamic Programming），如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。

动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的，

解题步骤

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

如何debug

找问题的最好方式就是把dp数组打印出来

做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果。

509. 斐波那契数

动规五部曲：

1、确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

2、确定递推公式

状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

3、dp数组如何初始化

dp[0] = 0;
dp[1] = 1;

4、确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

5、举例推导dp数组

按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n < 2) return n;
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }
}

70. 爬楼梯

1、确定dp数组以及下标的含义

dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

2、确定递推公式

从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。

首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。

还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。

dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。

3、dp数组如何初始化

dp[1] = 1，dp[2] = 2

4、确定遍历顺序

从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的

5、举例推导dp数组

当n为5的时候，dp table（dp数组）应该是这样的

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n < 3) return n;
        int n1 = 1;
        int n2 = 2;
        int n3 = 0;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            n3 = n1 + n2;
            n1 = n2;
            n2 = n3;
        }
        return n3;
    }
}

 

746. 使用最小花费爬楼梯

1、确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的费用为dp[i]。

2、确定递推公式

可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。

dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。

dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。

dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

3、dp数组如何初始化

dp[0] = 0，dp[1] = 0;

4、确定遍历顺序

因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。

5、举例推导dp数组

 示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        
        int dp0 = 0;
        int dp1 = 0;
        int dpi = 0;
        for (int i = 2; i <= cost.length; i++) {
            dpi = Math.min(dp1 + cost[i - 1], dp0+ cost[i - 2]);
            dp0 = dp1;
            dp1 = dpi;
        }
        return dp1;
    }
}