微分方程c语言求解,使用C语言解常微分方程 C ODE.doc
SYSU-IFCEN 2013-2014实验报告Projet professionnel
Vincent. Wang [PAGE 22]équipe de Neutrons Dosimétrie
解常微分方程
姓名：Vincent
年级：2010，学号：1033****，组号：5(小组)，4(大组)
数值方法:
我们的实验目标是解常微分方程，其中包括几类问题。一阶常微分初值问题，高阶常微分初值问题，常微分方程组初值问题，二阶常微分方程边值问题，二阶线性常微分方程边值问题。
对待上面的几类问题，我们分别使用不同的方法。
初值问题
使用 龙格-库塔 来处理
边值问题
用打靶法来处理
线性边值问题
有限差分法
初值问题
我们分别使用
二阶 龙格-库塔 方法
4阶 龙格-库塔 方法
来处理一阶常微分方程。
理论如下：
对于这样一个方程
当h很小时，我们用泰勒展开，
当我们选择正确的参数 a[i][j],b[i][j]之后，就可以近似认为这就是泰勒展开。
对于二阶，我们有：
其中
经过前人的计算机经验，我们有，
选择 A=1/2,B=1/2,则 P=1,Q=1，于是又如下形式，这也使休恩方法的表达式。
所以我们称其为 龙格(库塔)休恩方法
对于4阶龙格方法，我们有类似的想法，
我们使用前人经验的出的系数，有如下公式
对于高阶微分方程及微分方程组
我们用
4阶龙格-库塔方法来解
对于一个如下的微分方程组
我们可以认为是一个一阶向量微分方程，所以可以用龙格-库塔方法的向量形式解。
对于一个高阶的微分方程，形式如下:
我们可以构建出一个一阶的微分方程组，
令
则有
所以我们实际只要解一个微分方程组
其中初值为
使用4阶龙格-库塔方法，
使用这个向量形式的龙格-库塔方法我们便可就出方程的数值解。
边值问题
对于边值问题，我们分为两类
一般的边值问题
线性边值微分方程
一般的边值问题，我们是使用打靶法来求解，
对于这样一个方程
主要思路是，化成初值问题来求解。
我们已有
这样我们便可求出方程的解。
线性微分方程边值问题
对于这样的问题，我们可以使用一个更加高效的方法，有限差分法。
对于如下方程
我们对其进行差分
这样的话，我们的微分方程可以写成，
于是我们得到了个线性方程组
这样的话我们求解出x
对于上面的矩阵，我们可以分解出两个三角阵，然后回代求解便可。
我们用回代法可以直接求解
至此，我们便求出了目标方程的解
流程图
二阶龙格-库塔
对于i = 0到M-1;
y[i+1] = y[i] + h / 2 * (fun(t, y[i]) + fun(t + h, y[i] + h*fun(t, y[i])));
return y;
4阶龙格-库塔
对于i = 0到M-1;
y[i + 1] = y[i] + h / 6 * (fun(t, y[i]) + 2 * fun(t + h / 2, y[i] + h / 2 * fun(t, y[i])) + 2 * fun(t + h / 2, y[i] + h / 2 * fun(t + h / 2, y[i] + h / 2 * fun(t, y[i]))) +fun(t + h, y[i]+h*fun(t + h / 2, y[i] + h / 2 * fun(t + h / 2, y[i] + h / 2 *fun(t, y[i])))));
return y;
4阶龙格-库塔解方程组
对于k= 0到M-1;
对于i= 0到N;
fun(t, y[k], dy[0])
对于i= 0到N;
tempdy[j] = y[k][j] + h / 2 * dy[0][j];
fun(t + h / 2, tempdy, dy[1]);
对于i= 0到N;
tempdy[j] = y[k][j] + h / 2 * dy[1][j];
fun(t + h / 2, tempdy, dy[2]);
对于i= 0到N;
tempdy[j] = y[k][j] + h * dy[2][j];
fun(t + h, tempdy, dy[3]);
y[k+1][i] = y[k][i] + h / 6 * (dy[0][i] + 2 * dy[1][i] + 2 * dy[2][i] + dy[3][i]);
return y;
打靶法
当err
y = RKSystem4th( fun, 2, t0, u, tn, M);
f0 = y[M-1][0] - b;
u[1] = y[0][1];
y = RKSystem4th( fun, 2, t0, v,