【泛函分析】存在有可列个间断点的单调函数

下面列举一个定义在 $[0,1]$ 上的单调递增函数 $f$, 它在 $[0,1]$ 上具有可列个不连续点.

定义 $f(x)=1$, $\forall x\in [0,\frac{1}{2}]$
定义 $f(x)=2$, $\forall x\in (\frac{1}{2},\frac{2}{3}]$
…
定义 $f(x)=k$, $\forall x\in (\frac{k-1}{k},\frac{k}{k+1}]$
…
定义 $f(x)=1$, $x=1$

上面列举的函数是无界的, 若定义 $f(x)=1-\frac{1}{2^k}$, $\forall x\in (\frac{k-1}{k},\frac{k}{k+1}]$, 则得到的 $f$ 是有界的.