高中奥数 2022-03-21

2022-03-21-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P060 例05）

已知、、是正实数,满足.求证:在下列三个式子中至少有两个成立

证明

用反证法.

(1)如果,,,则,与矛盾.

(2)不妨设三式中仅有2个小于2,即设

由可得.

但上式左端,矛盾!

因此结论成立.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P060 例06）

4个实数、、、满足:

(1);

(2);

(3).

求证:.

证明

若,则,于是

.

而,

所以

由知

又由题设知,

上面两式相加得.

故

矛盾!所以,.

于是

即.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P061 例07）

设,求证:

证明

用反证法.

若存在正实数、、,使得,那么

即

上面三式相乘即得,矛盾!故原不等式成立.

从而得证.