高中奥数 2021-10-16

2021-10-16-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角法 P076 习题01）

设与的外接圆内切并与边、相切的圆为,记为圆的半径,是的内切圆半径.类似地定义、.证明.

证明

设、、为圆、圆、圆的圆心.

记、为点在、上的投影,则的内心为的中点.

设、为在、上的投影,有.

同理,,.

令,,.

只需证当时,有,即.

由Cauchy-Schwartz(柯西-许瓦尔兹)不等式,有.

故只需证.

因为在上是凸函数,故由Jensen不等式得:.

因此,.

2021-10-16-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角法 P076 习题02）

已知圆是等边的外接圆,设圆与圆外切且切点异于点、、,点、、在圆上,且使得、、与圆相切.证明线段、、中的一线段的长度等于另两线段长度之和.

证明

如图,设、分别是圆、圆的半径.

图1

不失一般性,设圆和圆的切点位于间靠近的一边.

记、分别是圆、圆的圆心.

设,则,.

由余弦定理得.

注意到,所以,.

同理,,.

因此,.

2021-10-16-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角法 P076 习题03）

设是锐角的外心,,交边于点.和的外心分别为、.在和的延长线上分别取点和,使得,.证明:四边形是矩形的充分必要条件是.

证明

如图,设交于点,点、在上的射影分别为,.

图2

显然,,

必要性.

由,得,故

充分性.

由,得.

由,则.

故.

因此,四边形为平行四边形.

因,则.

故为正三角形,有.

又,故.

从而,四边形为矩形.

2021-10-16-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角法 P077 习题04）

已知的外心,为劣弧上一点.由向作垂线交于,交于.由向作垂线交于,交于.证明:(1)是等腰三角形;(2).

证明

(1)如图,由,,有.

图3

故.

(2)设的半径为,,.

设,,.

则,.

故.

所以,,即.

又,,则,,.

同理,.

注意到

$\begin{aligned} &PQ^{2}=QR\cdot ST\\ \Leftrightarrow &PQ^{2}=AQ\cdot SB\\ \Leftrightarrow &\left(\cos \beta-\cos \alpha\right)^{2}=\left[1-\cos \left(\alpha-\beta\right)\right]\left[1-\cos \left(\alpha+\beta\right)\right]\\ \Leftrightarrow &\left(\cos\beta -\cos\alpha\right)^{2}=2\sin^{2}\dfrac{\left(\alpha-\beta\right)}{2}\cdot2\sin^{2}\dfrac{\left(\alpha+\beta\right)}{2}\\ \Leftrightarrow &\cos \beta-\cos \alpha=2\sin \dfrac{\alpha-\beta}{2}\cdot \sin \dfrac{\alpha+\beta}{2} \end{aligned}$

而最后一式显然成立,故.

高中奥数 2021-10-16

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