高中奥数 2021-10-15

2021-10-15-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角法 P074 例12）

如图,凸四边形中,.延长与相交于点,延长与相交于.求证:.

图1

证明

连结,并分别记角如图所示.

首先,在中,由正弦定理有:

所以.

同理,.

所以

$\begin{aligned} A B+B F &=A D+D F \Leftrightarrow \dfrac{\sin \gamma+\sin \alpha}{\sin (\gamma+\alpha)}=\dfrac{\sin \theta+\sin \beta}{\sin (\theta+\beta)} \\ & \Leftrightarrow \cos \dfrac{\gamma-\alpha}{2} \cos \dfrac{\theta+\beta}{2}=\cos \dfrac{\theta-\beta}{2} \cos \dfrac{\gamma+\alpha}{2}\\ &\Leftrightarrow \cos \dfrac{\theta+\beta+\gamma-\alpha}{2}+\cos \dfrac{\theta+\beta-\gamma+\alpha}{2} \\ &=\cos \dfrac{\gamma+\alpha+\theta-\beta}{2}+\cos \dfrac{\gamma+\alpha-\theta+\beta}{2} \end{aligned}$

另一方面: $A C+C F=A E+E F \Leftrightarrow \dfrac{\sin \theta+\sin \alpha}{\sin (\theta-\alpha)}=\dfrac{\sin \gamma+\sin \beta}{\sin (\gamma-\beta)}\Leftrightarrow \sin \dfrac{\theta+\alpha}{2} \sin \dfrac{\gamma-\beta}{2}=\sin \dfrac{\gamma+\beta}{2} \sin \dfrac{\theta-\alpha}{2}$ ,

即

$\begin{aligned} &-\dfrac{1}{2}\left[\cos \dfrac{\theta+\alpha+\gamma-\beta}{2}-\cos \dfrac{\theta+\alpha-\gamma+\beta}{2}\right]\\ =&-\dfrac{1}{2}\left[\cos \dfrac{\gamma+\beta+\theta-\alpha}{2}-\cos \dfrac{\gamma+\beta-\theta+\alpha}{2}\right] \\ \Leftrightarrow &\cos \dfrac{\theta+\alpha+\gamma-\beta}{2}-\cos \dfrac{\theta+\alpha-\gamma+\beta}{2}\\ =&\cos \dfrac{\gamma+\beta+\theta-\alpha}{2}- \cos \dfrac{\gamma+\beta-\theta+\alpha}{2}. \end{aligned}$

故由可以推出.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角法 P075 例13）

如图已知锐角的垂心为,内心为,且满足,,分别与的外接圆交于点、.证明:的充分必要条件是.

图2

证明

不妨设,外接圆半径为,所以

$\begin{aligned} \angle HCL&=\angle HCA-\angle ICA\\&=90^{\circ}-\angle A-\dfrac{\angle C}{2}\\&=\dfrac{1}{2}\cdot \left(180^{\circ}-2\cdot \angle A-180^{\circ}+\angle A+\angle B\right)\\&=\dfrac{1}{2}\left(\angle B-\angle A\right) \end{aligned}$

由正弦定理:,

同理,

$\begin{aligned} C I &=\dfrac{\sin \angle IAC \cdot A C}{\sin \angle A I C}\\&=\dfrac{\sin \dfrac{\angle A}{2} \cdot(2 R \sin \angle B)}{\sin \left(90^{\circ}+\angle \dfrac{B}{2}\right)} \\ &=\dfrac{\sin \dfrac{\angle A}{2} \cdot 4 R \cdot \sin \dfrac{\angle B}{2} \cdot \cos \dfrac{\angle B}{2}}{\cos \dfrac{\angle B}{2}}\\&=4 R \cdot \sin \dfrac{\angle A}{2} \cdot \sin \dfrac{\angle B}{2} \end{aligned}$

由鸡爪定理:.

于是,的充分必要条件是,即

或者 ,

这就相当于 . .

另一方面,即,等价于,消去得,

即 $\cos \dfrac{\angle B-\angle A}{2}-\cos \dfrac{\angle A+\angle B}{2}=\cos \dfrac{\angle B-\angle A}{2}\left(1-2 \sin ^{2} \dfrac{\angle C}{2}\right) \Leftrightarrow \cos \dfrac{\angle A+\angle B}{2}= 2 \cos \dfrac{\angle B-\angle A}{2} \cdot \sin ^{2} \dfrac{\angle C}{2}$ .

于是的充要条件是.

高中奥数 2021-10-15

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