字符串匹配算法BF,BM,KMP

字符串匹配bf算法：（暴力穷举算法）

在一个字符串中寻找另一字符串，最容易想到的，也是最简单的办法是：取主串和模式串/搜索串中的每一位依次比较，如果匹配则同时后移一位继续比较，直至匹配到模式串的最后一位；如果出现不匹配的字符，则模式串向后移动一位，继续比较。这种解决问题的思路简单暴力，也是这个算法被叫做BF（Brute Force）的原因。整个匹配的过程可以参考下图，我们假设主串为“abdea”，搜索串为“dea”：

    

 

这个算法的复杂度还是比较好分析的，我们假设主串的长度是 m，模式串的长度是 n，在最好的情况下，在第一个字符处的匹配就能够成功，例如主串是 a b c d ，模式串是a b c，这时只遍历了模式串的长度，因为时间复杂度是 O(n)；

 在最坏的情况下，每次都需要遍历整个模式串，但是又未能匹配成功，例如主串是 a a a a a ...a，模式串是 a a a a b，所以需要遍历 m - n + 1 次，时间复杂度是 O(m * n) 。

Java的indexOf 方法解析

在 Java 语言中，常用的字符串匹配的方法是 String 类中的 indexOf() 方法，它的设计思路又是怎么样的呢？其实 indexOf 方法的逻辑非常简单，看看源代码就知道它其实就是 BF 算法的实现。    

主要的匹配逻辑在代码中的 for 循环这一段，可以看到匹配的过程主要分为了两步，第一步是找出第一个匹配的字符，

 

然后再依次遍历模式串看是否匹配。这和 BF 算法的思路是一致的。

 

BM算法：

各种文本编辑器的"查找"功能（Ctrl+F），大多采用Boyer[ˈbɔɪə]-Moore[mʊə]算法。

Boyer-Moore算法不仅效率高，而且构思巧妙，容易理解。1977年，德克萨斯大学的Robert S. Boyer教授和J Strother Moore教授发明了这种算法。BM算法里的总体思路是：对于每一次失败的匹配尝试，算法都能够使用这些信息来排除尽可能多的无法匹配的位置。

下面根据Moore教授自己的例子来解释这种算法。

1.

假定字符串为"HERE IS A SIMPLE EXAMPLE"，搜索词为"EXAMPLE"。这里的EXAMPLE就是模式串。

首先，"字符串"与"搜索词"头部对齐，从尾部开始比较。

这是一个很聪明的想法，因为如果尾部字符不匹配，那么只要一次比较，就可以知道前7个字符（整体上）肯定不是要找的结果。

我们看到，"S"与"E"不匹配。这时，"S"就被称为"坏字符"（bad character），即不匹配的字符。我们还发现，"S"不包含在搜索词"EXAMPLE"之中，这意味着可以把搜索词直接移到"S"的后一位。

依然从尾部开始比较，发现"P"与"E"不匹配，所以"P"是"坏字符"。但是，"P"包含在搜索词"EXAMPLE"之中。所以，将搜索词后移两位，两个"P"对齐。

这里移动两位的依据：

后移位数 = 坏字符的位置 – 模式串中的上一次出现位置，如果"坏字符"不包含在搜索词之中，则上一次出现位置为 -1。也就是P这次在上面的主字符串是第六个位置，在模式串中是第四个位置 ，所以6-4 等于2 ，所以移动两位，通过这个也可以说明第一次的S和E不行等那就是6（S这个坏字符在字符串中的位置是6，以0下表开始计算）减去-1（S在模式串中不存在就是负1）(再以前面第二步的"S"为例，它出现在第6位，上一次出现位置是 -1（即未出现），则整个模式串后移 6 - (-1) = 7)位。

以"P"为例，它作为"坏字符"，出现在主串的第6位（从0开始编号），也就是“空格，A，空格，S，I，M，P”，在模式串中的上一次出现位置为4，所以后移 6 - 4 = 2位。

如下图所示：

 

接着移动到这里：

依然从尾部开始比较，"E"与"E"匹配。 

 比较前面一位，"LE"与"LE"匹配。

 比较前面一位，"PLE"与"PLE"匹配。

 比较前面一位，"MPLE"与"MPLE"匹配。我们把这种情况称为"好后缀"（good suffix），即所有尾部匹配的字符串。注意，"MPLE"、"PLE"、"LE"、"E"都是好后缀。

 

比较前一位，发现"I"与"A"不匹配。所以，"I"是"坏字符"。 

 

 根据"坏字符规则"，此时模式串应该后移 2 - （-1）= 3 位。问题是，此时有没有更好的移法？

我们知道，此时存在"好后缀"。所以，可以采用"好后缀规则"：

后移位数 = 好后缀的位置 – 模式串中的上一次出现位置 

举例来说，如果字符串"ABCDAB"的后一个"AB"是"好后缀"。那么它的位置是5（从0开始计算，取最后的"B"的值），在模式串中的上一次出现位置是1（第一个"B"的位置），所以后移 5 - 1 = 4位，前一个"AB"移到后一个"AB"的位置。

再举一个例子，如果字符串"ABCDEF"的"EF"是好后缀，则"EF"的位置是5 ，上一次出现的位置是 -1（即未出现），所以后移 5 - (-1) = 6位，即整个模式串移到"F"的后一位。

　（1）"好后缀"的位置以最后一个字符为准。假定"ABCDEF"的"EF"是好后缀，则它的位置以"F"为准，即5（从0开始计算）。

　　（2）如果"好后缀"在模式串中只出现一次，则它的上一次出现位置为 -1。比如，"EF"在"ABCDEF"之中只出现一次，则它的上一次出现位置为-1（即未出现）。

　　（3）如果"好后缀"有多个，如果最长的那个"好后缀"在模式串中只出现一次，其他"好后缀"的上一次出现位置必须在头部。比如我们的例子中所有的"好后缀"（MPLE、PLE、LE、E）之中，只有"E"在"EXAMPLE"还出现在头部，所以后移 6 - 0 = 6位。

 可以看到，"坏字符规则"只能移3位，"好后缀规则"可以移6位。所以，Boyer-Moore算法的基本思想是，每次后移这两个规则之中的较大值。

更巧妙的是，这两个规则的移动位数，只与模式串有关，与原字符串无关。因此，可以预先计算生成《坏字符规则表》和《好后缀规则表》。使用时，只要查表比较一下就可以了。

继续从尾部开始比较，"P"与"E"不匹配，因此"P"是"坏字符"。根据"坏字符规则"，后移 6 - 4 = 2位。

从尾部开始逐位比较，发现全部匹配，于是搜索结束。如果还要继续查找（即找出全部匹配），则根据"好后缀规则"，后移 6 - 0 = 6位，即头部的"E"移到尾部的"E"的位置。 这个也就是平时文本编辑器ctrl+f移动搜索的原理

最坏情况下找到模式所有出现的时间复杂度为O(mn)，在最好情况下执行匹配找到模式所有出现的时间复杂度为O(m/n)。

所以，BM算法里的总体思路就是：对于每一次失败的匹配尝试，算法都能够使用这些信息来排除尽可能多的无法匹配的位置。同时可以预先计算生成《坏字符规则表》和《好后缀规则表》，大大加快查找匹配的速度。 

字符串KMP算法：

KMP算法是三位学者在 Brute-Force算法的基础上同时提出的模式匹配的改进算法。它也是字符串匹配中的经典算法。它以三个发明者命名。

举例来说，有一个字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"，我想知道，里面是否包含另一个字符串"ABCDABD"？。

首先，字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"的第一个字符与搜索词"ABCDABD"的第一个字符，进行比较。因为B与A不匹配，所以搜索词后移一位。 

 因为B与A不匹配，搜索词再往后移。

 就这样，直到字符串有一个字符，与搜索词的第一个字符相同为止。

接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是相同。

 直到字符串有一个字符，与搜索词对应的字符不相同为止。

 这时，最自然的反应是，将搜索词整个后移一位，再从头逐个比较。这样做虽然可行，但是效率很差，因为你要把"搜索位置"移到已经比较过的位置，重比一遍。

一个基本事实是，当空格与D不匹配时，你其实知道前面六个字符是"ABCDAB"。KMP算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把"搜索位置"移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。

怎么做到这一点呢？可以针对搜索词，算出一张《部分匹配表》（Partial Match Table）。这张表是如何产生的，后面再介绍，这里只要会用就可以了。 

已知空格与D不匹配时，前面六个字符"ABCDAB"是匹配的。查表可知，最后一个匹配字符B对应的"部分匹配值"为2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数： 

已知空格与D不匹配时，前面六个字符"ABCDAB"是匹配的。查表可知，最后一个匹配字符B对应的"部分匹配值"为2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数：

　　移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值

因为 6 - 2 等于4，所以将搜索词向后移动4位。

 

因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为2（"AB"），对应的"部分匹配值"为0。所以，移动位数 = 2 - 0，结果为 2，于是将搜索词向后移2位。

 因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为2（"AB"），对应的"部分匹配值"为0。所以，移动位数 = 2 - 0，结果为 2，于是将搜索词向后移2位。

 因为空格与A不匹配，继续后移一位。

 

逐位比较，直到发现C与D不匹配。于是，移动位数 = 6 - 2，继续将搜索词向后移动4位。

逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索词向后移动7位，这里就不再重复了。 

接着介绍部分匹配表的概念：

 前缀：除了最后一个字符以外，剩下所有字符组合 br bre  brea

后缀：除了第一个字符意外，剩下所有字符，read,ead,ad,d

首先，要了解两个概念："前缀"和"后缀"。 "前缀"指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；"后缀"指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。

 

"部分匹配值"就是"前缀"和"后缀"的最长的共有元素的长度。以"ABCDABD"为例，

　　－　"A"的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0；

"AB"的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为0；

　　－　"ABC"的前缀为[A, AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度0；

　　－　"ABCD"的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD, D]，共有元素的长度为0；

　　－　"ABCDA"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为"A"，长度为1；

　　－　"ABCDAB"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为"AB"，长度为2；

"部分匹配"的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，"ABCDAB"之中有两个"AB"，那么它的"部分匹配值"就是2（"AB"的长度）。搜索词移动的时候，第一个"AB"向后移动4位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个"AB"的位置。

KMP算法的时间复杂度O(m+n)。

BM算法和KMP算法两者比较来说，BM算法的执行效率要比KMP算法快3-5倍左右，并且十分容易理解。所以各种文本编辑器的“查找”功能（CTRL + F）一般都是采用的此算法。