m0_56203653
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上海2021ICPC H Life is a Game （Kruskal重构树）

题目大意：给定n个点，m条边，每个点上有一个点权，每条边有一个边权；走到这个点后你的能力会增加这个点权，你的能力需要大于一条边的边权才可以走到这条边。（1<=n,m,q<=10^{5}）

解题思路：很明显是先找一个最小生成树，能够以最小的边权走到每个点的预期路径。Kruskal重构树就是在Kruskal最小生成树的基础上延伸的一个算法，它是一个二叉树，原图中的点都是叶子结点，两个叶子结点的父亲是他们两之间的边权，每次选边权最小的两个点，自底向上构造，保证往上的边权非递减。任意两点间的边权是他们的LCA（当然这题可以不需要用到LCA）。最终的结点有2N个，需要开2N的空间。下图是样例的Kruskal重构树。方框的结点是虚点，结点旁边的值是需要走完它的子树能获得的能量值，这个在建树的时候就可以得到了。每次获得一个初始结点，往上跳，这个需要用倍增跳（因为最坏的情况下数据卡到，树接近单链，逐层一步步跳的时间复杂度就是O（nq）了）。如果大于上面的这个边权值，就跳到这个位置，答案等于这个点统计出来的子树能获得的能量值+初始能量值。上海2021ICPC H Life is a Game （Kruskal重构树）_第1张图片

#include 
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#include 
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#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 10;
const int maxN = 2010;
const int mod = 1e6 + 7;
const int INF = (1ll << 31) - 1;
const ll LNF = 1e18;
const double eps = 1e-6;
typedef pair PII;
int p[N << 1], depth[N << 1], fa[N << 1][21];
ll sum[N << 1], a[N], val[N << 1];
int e[N << 2], ne[N << 2], h[N << 1], idx;
struct Node{
    int a, b;
    ll c;
    bool operator<(const Node &A)const{
        return c < A.c;
    }
}v[N];
void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
int find(int x) {
    if (x != p[x]) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}
void bfs(int u) {
    queuequ; qu.push(u);
    depth[u] = 1, depth[0] = 0;
    while (!qu.empty()) {
        int u = qu.front(); qu.pop();
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (depth[v] > depth[u] + 1) {
                depth[v] = depth[u] + 1;
                qu.push(v);
                fa[v][0]= u;
                for (int k = 1; k <= 20; k ++ ) {
                    fa[v][k] = fa[fa[v][k - 1]][k - 1];
                }
            }
        }
    }
}

void solve() {
    memset(h, -1, sizeof(h));
    memset(depth, 0x3f, sizeof(depth));
    int n, m, q; cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= 2 * n; i ++ ) p[i] = i;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i], sum[i] = a[i];
    for (int i = 1; i <= m; i ++ ) {
        int x, y;
        ll z; cin >> x >> y >> z;
        v[i] = {x, y, z};
    }
    sort(v + 1, v + 1 + m);
    int k = n;
    for (int i = 1; i <= m; i ++ ) {
        int x = v[i].a, y = v[i].b;
        ll z = v[i].c;
        x = find(x), y = find(y);
        if (x == y) continue;
        p[x] = p[y] = ++ k;
        val[k] = z;
        add(x, k), add(k, x), add(y, k), add(k, y);
        sum[k] += sum[x] + sum[y];//a的集合值
    }
    for (int i = k; i >= 1; i -- ) if (depth[i] == 0x3f3f3f3f) bfs(i);
    while (q -- ) {
        ll x, ini;
        cin >> x >> ini;
        ll ans = ini + a[x];
        while(x != k) {
            int x1 = x;
            for (int i = 20; i >= 0; i -- ) {
                if (fa[x][i] && val[fa[x][i]] <= ans) {
                    x = fa[x][i];
                }
            }
            if (x1 == x) break;
            ans = sum[x] + ini;
        }

        cout << ans << '\n';
    }
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int _;
    //cin >> _;
    _ = 1;
    while (_ -- ) {
        solve();
    }
    return 0;
}

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